Exercices de MPSI

[Magnéthorax]

Déjà en cherchant bien des exemples on trouve que les couples d'entiers vérifiant cette propriété sont tels que : $ (a,a^3), a \in \mathbb{N}^* $.

Non seulement cette phrase n'a pas de sens, mais en plus elle est fausse. Prendre par exemple $ a = 30 $ et $ b = 8 $.

Si elle n'a pas de sens, peut-elle être fausse ?

[mathophilie]

Merci pour les exos

Well done à Syl20, je vois pas trop d'autres méthodes que la récurrence, j'ai aussi commencé à tâtonner pour émettre une hypothèse de récurrence... Tu as trouvé avant moi
Sinon, je voulais poser A(x) le quotient et R(x) le reste et établir un système à partir de l'égalité $ x^n = (x-1)^3A(x) + R(x) $ que je dérivais 2 fois histoire d'obtenir un système de trois égalités en sachant que le reste R(x) est au max de degré 2.
Pour trouver ces égalités, je remplaçais x par 1.... Pratique... Jusqu'à ce que je me rende compte que diviser par 0, bah c'est un peu interdit, en fait ^^

[JeanN]

Merci pour les exos

Well done à Syl20, je vois pas trop d'autres méthodes que la récurrence, j'ai aussi commencé à tâtonner pour émettre une hypothèse de récurrence... Tu as trouvé avant moi
Sinon, je voulais poser A(x) le quotient et R(x) le reste et établir un système à partir de l'égalité $ x^n = (x-1)^3A(x) + R(x) $ que je dérivais 2 fois histoire d'obtenir un système de trois égalités en sachant que le reste R(x) est au max de degré 2.
Pour trouver ces égalités, je remplaçais x par 1.... Pratique... Jusqu'à ce que je me rende compte que diviser par 0, bah c'est un peu interdit, en fait ^^

Et à quel endroit divises-tu par 0 ?

[bullquies]

la récurrence m'a l'air fausse par ailleurs, il y a plein d'indices qui ne prennent pas les bonnes valeurs...
Et en appliquant la méthode de mathophilie je trouve pas du tout la même chose (dans laquelle il n'y a jamais de division par 0...)

[rabhix98]

Mais ce n'est pas nécessaire
A priori, on peut rajouter des termes pour faire apparaître l'identité remarquable (x-1)^3 puis retrancher.
Le reste sera ce qu'on a retrancher, non ?

[mathophilie]

Merci pour les exos

Well done à Syl20, je vois pas trop d'autres méthodes que la récurrence, j'ai aussi commencé à tâtonner pour émettre une hypothèse de récurrence... Tu as trouvé avant moi
Sinon, je voulais poser A(x) le quotient et R(x) le reste et établir un système à partir de l'égalité $ x^n = (x-1)^3A(x) + R(x) $ que je dérivais 2 fois histoire d'obtenir un système de trois égalités en sachant que le reste R(x) est au max de degré 2.
Pour trouver ces égalités, je remplaçais x par 1.... Pratique... Jusqu'à ce que je me rende compte que diviser par 0, bah c'est un peu interdit, en fait ^^

Et à quel endroit divises-tu par 0 ?

Je pensais que si je posais x=1, même si j'ai écrit une expression dans laquelle je ne divise pas directement par 0, ca revient à considérer la division euclidienne de 1 par 0, ce qui me paraissait... mathématiquement frauduleux

Je tombais sur cela, en plus détaillé :

SPOILER:

Soit A(x) le quotient de la division euclidienne et R(x) le reste.
R(x) est nécessairement de degré 2 ou moins (car il doit être de degré inférieur au dividende). On pose $ R(x) = ax^2 + bx + c $ avec a,b,c réels.

On a donc l'égalité : $ x^n = (x-1)^3A(x) + R(x) $

En posant x=1 (mais je pensais que j'avais pas le droit ! Même si c'est une traduction qui permet de poser x=1, j'ai toujours l'impression que ca revient à poser comme dividende 0... ), il vient :$ a + b+ c = 1 $

En dérivant l'égalité de départ, il vient : $ nx^{n-1} = 3(x-1)^2A(x) + (x-1)^3A'(x) + R'(x) $
D'où en posant x = 1 : $ n = 2a + b $

En redérivant une nouvelle fois, il vient : $ n(n-1)x^{n-2} = 6(x-1)A(x) + 3(x-1)^2A'(x) $$ + 3(x-1)^2A'(x) + (x-1)^3A''(x) + R''(x) $
D'où en posant x=1 : $ 2a = n(n-1) $

On en déduirait alors que $ a = \frac{n(n-1)}{2} $

D'où $ b = -n^2+2n $

D'où $ c= \frac{(n-1)(n-2)}{2} $

Donc le reste R(x) vaut : $ R(x) = \frac{n(n-1)}{2}x^2 - n(n-2)x + \frac{(n-1)(n-2)}{2} $

Mais j'ai toujours l'impression que c'est "tricher" que de poser x=1 et d'adapter la solution à une division euclidienne alors qu'on ne peut pas diviser par 0

[mathophilie]

Mais ce n'est pas nécessaire
A priori, on peut rajouter des termes pour faire apparaître l'identité remarquable (x-1)^3 puis retrancher.
Le reste sera ce qu'on a retrancher, non ?

Que veux-tu dire par "ajouter des termes pour faire apparaître l'identité remarquable puis retrancher" ?

[SigmaPi]

Tu t'es trompée dans tes calculs, mais la méthode permet de retrouver le résultat !

Pour corser, retrouver le quotient de la division.

[bullquies]

je crois qu'il y a un soucis de compréhension et de définitions ici...
quand on dit division euclidienne, certains comprennent la division de nombres. D'autres comprennent la division de polynômes

[rabhix98]

je crois qu'il y a un soucis de compréhension et de définitions ici...
quand on dit division euclidienne, certains comprennent la division de nombres. D'autres comprennent la division de polynômes

C'est ça je crois qu'il y a méprise