Exercices de MPSI

[Krik]

Attention, la suite n'est pas décroissante à partir du rang 1 (essayez avec de petites valeurs de u0).

[phibang]

Je n'ai pas d'idée d'exemple mais le principal est de comprendre l'idée : prouver (ou supposer) l'existence d'un objet avant de vouloir prouver des résultats dessus ou même de vouloir utiliser l'existence comme argument

[mathophilie]

Parce qu'ici on ne suppose son existence. On définit la suite seulement, si tu ne sais (ou tu ne supposes) pas qu'elle existe tu ne peux pas prouver un résultat sur elle.

Par exemple.
Si je définis la suite $ (U_n) $ telle que $ \forall n \in \mathbb{N}, U_n = \frac{1}{10-n} $ je ne peux pas dire que $ (U_n) $ est croissante parce qu'elle n'existe pas.

Si je suppose qu'une telle suite existe, je pourrais dire qu'une telle suite est croissante (edit : si j'arrivais à le prouver ce qui n'est pas le cas, voir le message suivant, disons pour l'idée "croissante sur les 9 premiers termes" mais ça n'a aucun sens)

En fait avant de travailler sur un objet il faut soit prouver son existence soit la supposer.

Le problème ici est plus "grave" c'est que tu utilises l'existence comme un argument dans ta démonstration alors que tu ne l'as pas prouvée.

Okkk merci

Mais par exemple pour ta suite, on peut pas dire qu'elle est croissante sur [0;9[ et croissante sur [11;infini[ ?

EDIT : Je crois qu'en fait on a tellement pas l'habitude de justifier l'existence de ce qu'on manipule en Term (sauf cas extrême ou faut vraiment justifier) que ca me paraît pas du tout naturel d'avoir à se préocupper du cas ou elle existe pas J'ai compris ca avec Magnéthorax un moment

[mathophilie]

Attention, la suite n'est pas décroissante à partir du rang 1 (essayez avec de petites valeurs de u0).

Ouais, en fait elle est décroissante à partir d'un certain rang... Merci !

[mathophilie]

J'ai pas bien compris la remarque là parce qu'on a toujours u_0 = 1/10 mais oui l'exemple est encore plus pourri ( ) que je ne pensais vu qu'en admettant que cette suite soit définie elle ne serait ni croissante ni décroissante.
J'ai pas d'idée d'exemple mais le principal est de comprendre l'idée : prouver (ou supposer) l'existence d'un objet avant de vouloir prouver des résultats dessus ou même de vouloir utiliser l'existence comme argument

Ok bon je crois que j'ai vaguement compris l'idée ^^ Même si j'arrive pas à voir l'utilisation de "l'existence comme argument" concrètement.
Du coup comment aurais-tu justifier l'existence de la suite pour utiliser l'argument minorée par 0 ?

[phibang]

Mais par exemple pour ta suite, on peut pas dire qu'elle est croissante sur [0;9[ et croissante sur [11;infini[ ?

L'exemple est pourri, faut pas continuer à raisonner dessus
Non on ne peut pas le dire (ni dans le cas où on suppose l'existence ni dans l'autre) parce que la croissance est définie ainsi pour tout entier naturel n
Si tu veux un meilleur exemple (ou un vrai parce que le mien c'était vraiment n'importe quoi) : http://forum.prepas.org/viewtopic.php?f=3&t=58341

Question 1 :
Ici on suppose que cette suite existe donc on peut répondre "oui" à la question posée.
Si on demandait de "montrer que la suite définie ainsi tend vers + l'infini", on ne pourrait pas répondre car cette suite n'existe pas.

Même si j'arrive pas à voir l'utilisation de "l'existence comme argument" concrètement.

Tu dis "comme la suite existe alors elle est nécessairement supérieure ou égale à 0"

Du coup comment aurais-tu justifier l'existence de la suite pour utiliser l'argument minorée par 0 ?

Tu dois prouver le fait qu'elle est supérieure ou égale à 0 par récurrence pour prouver qu'elle existe. Pas d'autre moyen !

[Krik]

Attention, la suite n'est pas décroissante à partir du rang 1 (essayez avec de petites valeurs de u0).

Ouais, en fait elle est décroissante à partir d'un certain rang... Merci !

Et la difficulté de l'exercice est de montrer ceci !

Pour l'importance de l'existence, que penses-tu de la suite définie par 0<u0<1 et pour tout n entier naturel, u_n+1=ln(u_n) ?

Pourquoi cela n'a-t-il aucun sens d'étudier cette suite ?

Veuillez excuser mon absence de LaTex.

[mathophilie]

Mais par exemple pour ta suite, on peut pas dire qu'elle est croissante sur [0;9[ et croissante sur [11;infini[ ?

L'exemple est pourri, faut pas continuer à raisonner dessus
Non on ne peut pas le dire (ni dans le cas où on suppose l'existence ni dans l'autre) parce que la croissance est définie ainsi pour tout entier naturel n
Si tu veux un meilleur exemple (ou un vrai parce que le mien c'était vraiment n'importe quoi) : http://forum.prepas.org/viewtopic.php?f=3&t=58341

Question 1 :
Ici on suppose que cette suite existe donc on peut répondre "oui" à la question posée.
Si on demandait de "montrer que la suite définie ainsi tend vers + l'infini", on ne pourrait pas répondre car cette suite n'existe pas.

Même si j'arrive pas à voir l'utilisation de "l'existence comme argument" concrètement.

Tu dis "comme la suite existe alors elle est nécessairement supérieure ou égale à 0"

Du coup comment aurais-tu justifier l'existence de la suite pour utiliser l'argument minorée par 0 ?

Tu dois prouver le fait qu'elle est supérieure ou égale à 0 par récurrence pour prouver qu'elle existe. Pas d'autre moyen !

Ok ! J'ai compris grâce à ta question 1 merci !

Attention, la suite n'est pas décroissante à partir du rang 1 (essayez avec de petites valeurs de u0).

Ouais, en fait elle est décroissante à partir d'un certain rang... Merci !

Et la difficulté de l'exercice est de montrer ceci !

Pour l'importance de l'existence, que penses-tu de la suite définie par 0<u0<1 et pour tout n entier naturel, u_n+1=ln(u_n) ?

Pourquoi cela n'a-t-il aucun sens d'étudier cette suite ?

Veuillez excuser mon absence de LaTex.

Parce que seuls u_0 et u_1 existent... Merci

Je re-rédige l'exo, mais je m'étais salement trompée avec cette histoire de minoration

[Oka]

heu je suis pas d'accord avec tonio pour le sens de "definir"
imo quand on dit "la suite definie par..." ça implique que elle existe !

[phibang]

On était déjà pas d'accord !
Pour moi même en cours lorsqu'on définit quelque chose, on prouve son existence (ou on le crée : les applications par exemple).
Par exemple on définit le PGCD de deux entiers naturels a et b comme le plus grand des éléments de l'intersection des ensembles des diviseurs de a et de l'ensemble des diviseurs de b. Il faut bien prouver que ce plus grand élément existe.
Même en exercice on démontre toujours l'existence de l'objet (lorsque non triviale) qu'on utilise.