Exercices de MPSI

[PiCarréSurSix]

Allez trop d'exercices d'un coup ça se fête.
Un facile : (enfin pour vous )

Soit p dans $ \mathbb P $ (l'ensemble des nombres premiers), différent de deux.
Trouver tous les couples $ (x;y) \in \mathbb Z^2 $ tels que $ x^2-y^2=p^2 $.

En plus en spé tout al' je suis retombé sur l'exo (de Syl20 ?) avec p premier supérieur à 5 et $ 24|p^2-1 $. J'ai torché l'exo le prof il a pas compris du coup

[Syl20]

Un facile : (enfin pour vous )

Soit p dans $ \mathbb P $ (l'ensemble des nombres premiers), différent de deux.
Trouver tous les couples $ (x;y) \in \mathbb Z^2 $ tels que $ x^2-y^2=p^2 $.

L'arithmétique, quelle drogue... Faudra s'en détacher un jour
Une proposition :

SPOILER:

On remarque tout d'abord que, si $ y=0 $, les couples $ (p,0) $ et $ (-p,0) $ sont solutions évidentes.
De plus, on a $ (x-y)(x+y)=p^2 $, et, pour $ y \neq 0 $, en utilisant Gauss, $ x+y=p^2 $ et $ x-y=1 $ou $ x-y=p $ et $ x+y=1 $
Bref dans $ \mathbb N $, le couple solution est $ (\frac{p^2+1}{2},\frac{p^2-1}{2}) $
Finalement, l'ensemble des solutions dans Z sont : $ (p,0) ; (-p,0) ; (\frac{p^2+1}{2},\frac{p^2-1}{2}); (-\frac{p^2+1}{2},\frac{p^2-1}{2}) ; (\frac{p^2+1}{2},-\frac{p^2-1}{2}) ; $$ (-\frac{p^2+1}{2},-\frac{p^2-1}{2}) $

Sinon, spemaths, j'ai un peu commencé ton exo. Je précise que j'aime beaucoup les exos guidés, c'est juste que je ne poste pas avant d'avoir fait toutes les questions - ce qui n'arrive pas souvent.

[PiCarréSurSix]

Héhé, bien ouej Syl20.
Après j'ai mal recopié mon ennoncé, j'aurais du mettre le couple dans $ \mathbb N^2 $ par ce que $ \mathbb Z^2 $ c'est presque sans intérêt.

[wallissen]

Exo sans doute inutile mais joli je trouve

Montrer que $ i^i $ est réel .

[phibang]

Comment définis-tu $ i^i $ ?

[wallissen]

Justement c'est pourquoi je l'ai posé ici , ça m'a semblé très bizarre

SPOILER:

On peut trouver une résolution ici, ça vous parait convaincant ?

[darklol]

En effet la résolution donnée dans ton lien n'est pas acceptable car a priori, on n'a pas donné de sens à $ z^{1/2} $ si $ z $ est un complexe.

Pour la culture: on peut en fait définir $ a^b $ si $ a $ et $ b $ sont deux complexes avec $ b \neq 0 $ de façon à ce que cette opération vérifie certaines propriétés intéressantes, mais il y a une infinité de façons de le faire et il n'y a pas vraiment de définition canonique possible (il y en a une éventuellement un peu plus canonique que les autres mais bon... Cf https://fr.m.wikipedia.org/wiki/Logarithme_complexe). Mais on peut tout de même donner un sens à $ i^i $ de façon à avoir en effet $ i^i = e^{-\pi/2} $.

[phibang]

ça vous parait convaincant ?

Pas du tout...
Ou en tout cas pas sans une définition préalable de la puissance d'un nombre complexe. Puissance entière ok on l'a et on sait travailler avec (formule de moivre) mais dans ton lien on prend une puissance rationnelle (celle de -1 donc non définie sur R) puis une puissance complexe sans l'avoir définie ni avoir vérifié ses propriétés.

[Sylve]

Exo sans doute inutile mais joli je trouve

Montrer que $ i^i $ est réel .

J'avais posé la question à ma prof de maths tiens. Elle l'avait montré avec les fonctions $ ln $ et $ exp $, me rappelle plus trop comment. Mais là le seul truc que je vois c'est quelque chose du même style que ce qui est fait dans le lien que tu as donné, en partant de $ i = e^{i\frac{\pi}{2} $. D'ailleurs on s'était pas trop attardé sur la formule d'Euler en cours ni d'où elle venait, faudra que je jette un œil. Parce que c'est quand même bizarre tout ça.

[phibang]

Elle l'avait montré avec les fonctions $ ln $ et $ exp $, me rappelle plus trop comment

démo fumeuse sans introduction de nouvelles notions.