[Difficile] Suite récurrente d'ordre 2

[Pixin]

Bonsoir !
Voilà un exo rapporté d'un oral par un élève, et je n'arrive vraiment par à le résoudre, une idée ?

On considère la suite $ (u_n)_{n\in \mathbb{N}} $ définie par
$ \forall n \in \mathbb{N} , u_{n+2} = u_{n+1} + \alpha^{n} u_{n},\ \ \alpha \in ]0,1[, u_0 \ , u_1 >0 $
Le but est de trouver sa limite (j'ai réussi à prouver son existence, à la majorer, mais pas à la déterminer).
Après des simulations Python, il semblerait que ce soit $ u_0 + u_1 +x $ avec $ x $ un ptit quelque chose, mais je n'arrive pas à la déterminer

Merci d'avance !
Pixin.

[Victateur]

Tu peux regarder ce qui se passe en partant de (0,1) et (1,0) puis conclure par linéarité

[Pixin]

En partant de (0,1), il se passe rien de bien sympathique, les 6 premiers termes font penser à la somme des termes d'une suite géométrique, mais dès que l'on arrive à $ u_6 $, ça se gâte.
En partant de (1,0), ça se gâte même un peu plus tôt, mais l'idée semble intéressante !

Pixin.

[v_lentin]

Bonsoir,
J'ai regardé un peu ton exercice ... sans succès.
Par curiosité, comment as tu réussi à majorer ta suite?

[jandri]

Bonjour,

J'ai déjà rencontré cet exercice mais sans calcul de la limite.
On demandait seulement de montrer qu'elle possède un DSE sur [0,1[ relativement à $ \alpha $.
C'est l'exercice 595 de la RMS 125-2 (février 2015), page 105, posé à Mines-Ponts en MP.

[jandri]

Il n'y a pas de formule simple pour la limite de la suite.
Dans le cas $ (u_0,u_1)=(1,0) $ le DSE de la limite a pour coefficients la suite A3106 de l'OEIS correspondant aux nombres de partitions de l'entier n en parts 5k+2 ou 5k+3.
Pour $ (u_0,u_1)=(0,1) $ c'est la suite A3114 de l'OEIS correspondant aux nombres de partitions de l'entier n en parts 5k+1 ou 5k+4.
Ce sont les fonctions G et H de Rogers–Ramanujan.

[bullquies]

Les valeurs 0 sont exclues par l'énoncé

[darklol]

Ce n'est pas parce que l'énoncé les exclut qu'on ne peut pas s'en servir. La suite u est parfaitement définie si l'un de ses premiers termes est nul, et ça permet d'appliquer la théorie des espaces vectoriels comme l'a fait remarquer Victateur. Après est-ce que ça aboutit, c'est une toute autre question...

[lsjduejd]

$ u_{n+2}-u_1=\sum_{k=0}^n u_{k+2}-u_{k+1} $
$ u_{n+2}-u_1=\sum_{k=0}^n u_{k}*\alpha^k $
D'où :
$ l=u_1+u_0+\sum_{k=1}^{\infty} u_{k}*\alpha^k $ (la série à droite converge car u est bornée).

SPOILER:

Pour la convergence de $ u $, on peut faire comme suit :
$ (u_n)_{n\geq 2} $ est croissante par définition et car $ (u_n)_{n\geq 0} $ est positive et $ \alpha\geq 0 $.

Du coup :
$ u_{n+2}\leq u_{n+1}(1+\alpha^n) $ pour tout $ n $ entier naturel.
$ u_{n+2}\leq u_{n+1}e^{\alpha^n} $ car $ \alpha \geq 0 $
Donc $ u_{n+2}\leq u_{1}e^{\sum_{k=0}^{+\infty}\alpha^k}} $ par récurrence immédiate pour tout $ n $ entier naturel.
$ u_{n+2}\leq u_{1}e^{\frac{1}{1-\alpha}} $ car $ \alpha < 1 $ pour tout $ n $ entier naturel.

Donc $ (u_n)_{n\geq 2} $ est croissante et bornée, elle converge.

[darklol]

Ça j'imagine que l'auteur du sujet l'avait depuis le début (mais c'est sûrement ce que l'énoncé demandait de toutes façons, vu les propos de jandri), mais jandri a soulevé la question intéressante d'une formule un peu plus "explicite" (ie qui ne dépendrait que de alpha et des deux premiers termes par exemple) et ça a l'air d'être une question difficile.
D'ailleurs jandri, est-ce que tu pourrais donner l'année du sujet Mines-Ponts dont tu parles?