Exercices de MPSI

[darklol]

Oui le théorème au programme c'est composition f de A dans B et g de C dans D avec B inclus dans C et tout ça des parties de R qui vont bien, pour que la topologie (celle de la valeur absolue en l'occurence) soit partout la même dans la démo. Sinon il faut faire à la main, ce qui revient en effet à démontrer un sens de la caractérisation séquentielle de la limite.

[mathophilie]

Euh je comprends pas trop ce que vous voulez dire par caractérisation séquentielle et tout, mais dans ma tête, c'est n que je fais tendre, pas x, donc en fait on s'en fiche du x non nul au dénominateur, non ?
La limite qui nous intéresse, c'est celle de f(x/2^n) au numérateur, qui tend vers 0 quand n tend vers l'infini.

[darklol]

Oui oui ne t'inquiètes pas, ce que tu as écris (le fait de faire tendre n vers l'infini à x fixé) était juste. Tonio1804 l'a juste rédigé un peu différemment.

[wallissen]

donc par th de composition des limites, $ \lim_{n \to \infty }\frac{f(\frac{x}{2^n})}{x} = 0 $

Pas vraiment par composition, plutôt par caractérisation séquentielle de la limite d'une fonction.

ça marche aussi la composition !

btw tu veux bien relancer le topic MP avec un exo ? ce serait cool pour s'entrainer avant les concours

L1 c'est en première année de licence à la fac, non ?
Tu veux passer les concours de MP en étant en première année de licence , ou tu veux faire juste les exos pour fun ?

[donnerwetter]

[Exo 524.1 ]

Soit $ f: \mathbb{R}_+ \rightarrow \mathbb{R} $ telle que $ f(x)e^{f(x)} = x $ pour tout $ x \in \mathbb{R}_+ $
Montrer que :

(a) f est croissante

(b) $ lim_{x \to +\infty }f(x) = \infty $

(c) $ \frac{f(x)}{\ln x} $ tend vers 1 quand x tend vers $ +\infty $

Question subsidiaire : une telle fonction existe-t-elle ?

J'ai un peu cherché sur les dernières pages du topic en quête d'une solution à cette dernière question, mais je n'ai rien trouvé. Du coup, j'aurais aimé avoir un avis sur ce qui suit (mon fidèle instinct mathématique me dit qu'il doit y avoir un problème quelque part, mais honnêtement je ne vois pas où) :

SPOILER:

S'il existait une fonction f telle que $ f(x)e^{f(x)} = x $ pour tout $ x \in \mathbb{R}^{+*} $, alors on aurait $ e^{f(x)} = \frac{x}{f(x)} $ avec $ f(x)>0 $ pour tout $ x \in \mathbb{R}^{+*} $, d'où $ f(x) = ln(\frac{x}{f(x)}) $.

Or d'après (c) $ lim_{x \to +\infty }\frac{f(x)}{\ln x} = 1 $. D'où $ lim_{x \to +\infty } f(x) = ln(x) $. Ainsi :

$ lim_{x \to +\infty } ln(\frac{x}{f(x)}) = ln(x) $ et donc $ lim_{x \to +\infty } f(x) = 1 $.

Mais alors $ lim_{x \to +\infty } f(x)e^{f(x)} = lim_{x \to +\infty } x = e $ ce qui est impossible.

Donc l'hypothèse initiale est fausse : $ f $ n'existe pas.

[kakille]

$ \lim_{x\to\infty}f(x)=\ln x $ : you failed

Une telle fonction existe : tu peux utiliser ton corollaire du tvi pour la construire, comme on construit le ln à partir de l'exp (souvent = en terminale, depuis la dernière réforme).

[donnerwetter]

Je me disais bien que c'était bizarre... Merci en tout cas.

[mathophilie]

Oui oui ne t'inquiètes pas, ce que tu as écris (le fait de faire tendre n vers l'infini à x fixé) était juste. Tonio1804 l'a juste rédigé un peu différemment.

Ok d'accord, merci

[wallissen]

$ \lim_{x\to\infty}f(x)=\ln x $ : you failed

Une telle fonction existe : tu peux utiliser ton corollaire du tvi pour la construire, comme on construit le ln à partir de l'exp (souvent = en terminale, depuis la dernière réforme).

D'ailleurs d'après les questions de l'énoncé on peut voir qu'une telle fonction a plusieurs propriétés en commun avec la fonction ln (définition avec l'expo qui rapelle un peu ln, même monotonie avec ln, mêmes limites, mêmes branches infinies etc...)

[Syl20]

[Exo 524.1 ]

Soit $ f: \mathbb{R}_+ \rightarrow \mathbb{R} $ telle que $ f(x)e^{f(x)} = x $ pour tout $ x \in \mathbb{R}_+ $
Montrer que :

(a) f est croissante

(b) $ lim_{x \to +\infty }f(x) = \infty $

(c) $ \frac{f(x)}{\ln x} $ tend vers 1 quand x tend vers $ +\infty $

Question subsidiaire : une telle fonction existe-t-elle ?

J'ai un peu cherché sur les dernières pages du topic en quête d'une solution à cette dernière question, mais je n'ai rien trouvé. Du coup, j'aurais aimé avoir un avis sur ce qui suit (mon fidèle instinct mathématique me dit qu'il doit y avoir un problème quelque part, mais honnêtement je ne vois pas où) :

SPOILER:

S'il existait une fonction f telle que $ f(x)e^{f(x)} = x $ pour tout $ x \in \mathbb{R}^{+*} $, alors on aurait $ e^{f(x)} = \frac{x}{f(x)} $ avec $ f(x)>0 $ pour tout $ x \in \mathbb{R}^{+*} $, d'où $ f(x) = ln(\frac{x}{f(x)}) $.

Or d'après (c) $ lim_{x \to +\infty }\frac{f(x)}{\ln x} = 1 $. D'où $ lim_{x \to +\infty } f(x) = ln(x) $. Ainsi :

$ lim_{x \to +\infty } ln(\frac{x}{f(x)}) = ln(x) $ et donc $ lim_{x \to +\infty } f(x) = 1 $.

Mais alors $ lim_{x \to +\infty } f(x)e^{f(x)} = lim_{x \to +\infty } x = e $ ce qui est impossible.

Donc l'hypothèse initiale est fausse : $ f $ n'existe pas.

http://forum.prepas.org/viewtopic.php?f ... 60#p783553
Ici et pages suivantes .
En fait , c'est plutôt $ lim_{x \to +\infty } f(x) = lim ln(x)=+\infty $. Tu ne peux pas faire tendre vers ln(x) qui contient la variable x qui n'est pas fixée