-->Leo11 a écrit :Trouver les couples d'entiers naturels $ (n;m) $ vérifiant $ n^m=m^n $.
SPOILER:
Les premières solutions évidentes sont $ m=n $. On suppose maintenant m différent de n.
Avec le logarithme népérien, il vient : $ \frac{ln(n)}{n} = \frac{ln(m)}{m} $
Une étude de la fonction $ f(x) = \frac{ln(x)}{x} $ définie sur R+* nous montre que f est strictement croissante sur [0;e] et strictement décroissante sur [e:+\infty]
Il faut donc que $ min(m;n) \in [0;e] $ et que $ max(m;n) \in [e:+\infty] $. Comme m et n sont entiers naturels, il vient donc : $ min(m;n)=\left \{1;2 \right \} $
De plus, on a supposé m et n distincts, donc $ min(m:n) = 1 $ a déjà été trouvé dans le cas $ m=n $. Il nous reste donc $ min(m;n)=2 $, soit les couples $ (2;4) $ et $ (4;2) $
Avec le logarithme népérien, il vient : $ \frac{ln(n)}{n} = \frac{ln(m)}{m} $
Une étude de la fonction $ f(x) = \frac{ln(x)}{x} $ définie sur R+* nous montre que f est strictement croissante sur [0;e] et strictement décroissante sur [e:+\infty]
Il faut donc que $ min(m;n) \in [0;e] $ et que $ max(m;n) \in [e:+\infty] $. Comme m et n sont entiers naturels, il vient donc : $ min(m;n)=\left \{1;2 \right \} $
De plus, on a supposé m et n distincts, donc $ min(m:n) = 1 $ a déjà été trouvé dans le cas $ m=n $. Il nous reste donc $ min(m;n)=2 $, soit les couples $ (2;4) $ et $ (4;2) $
