Bon, pour ceux à qui le fait qu'une fonction puisse être dérivable sans que sa fonction dérivée soit continue semble contre-intuitif. Considérez la fonction définie par ( exemple célèbre ) :
f(x) = x^2*sin(1/x) quand x est différent de 0 et qui est nulle en 0. Elle est bien dérivable en 0 mais sa dérivée n'est pas continue en 0. Vous pouvez faire un dessin de f et de sa dérivée pour voir qu'en fait, f se " tasse " bien en 0 ( le taux d'accroissement a une limite en 0 ), mais que sa dérivée oscille très très violemment en 0 aussi.
Bref, tout ça pour dire, en terminale, évitez de sortir des théorèmes de votre chapeau. Ça peut vous porter préjudice, clairement. Soyez prudents.
Exercices de MPSI
Re: Exercices de pré-rentrée MPSI
Ah non, l'analyse c'est ce qu'il y a de plus beau 
!
Si vous connaissez la définition de la convergence d'une suite. Il doit y avoir des trucs intéressants à faire je pense.
!Si vous connaissez la définition de la convergence d'une suite. Il doit y avoir des trucs intéressants à faire je pense.
Re: Exercices de pré-rentrée MPSI
Si tu as de tels exos, ce n'est pas de refusMonsterkuru a écrit :Ah non, l'analyse c'est ce qu'il y a de plus beau
Si vous connaissez la définition de la convergence d'une suite. Il doit y avoir des trucs intéressants à faire je pense.
S'il vous plaît, numérotez les exos que vous postez comme l'avait proposé Siméon ( [numéro de la page; numéro de l'exo sur la page] avec un lien vers l'exo), c'est plus pratique pour retrouver les trucs et y faire référence dans d'éventuelles corrections ou débats
Re: Exercices de pré-rentrée MPSI
@kakille
Tes commentaires hautains et hors sujet ne font pas avancer le débat.. C'est le vide total à partir à part le ton condescendant .
Je te citerai pas et c'est pas la peine de me répondre.
Tes commentaires hautains et hors sujet ne font pas avancer le débat.. C'est le vide total à partir à part le ton condescendant .
Je te citerai pas et c'est pas la peine de me répondre.
Re: Exercices de pré-rentrée MPSI
Hm...
Non HP.
C'est une construction assez classique, plusieurs méthodes... Plusieurs liens et solutions proposés sur Internet, mais bon, jouez le jeu.[Exo 524.1 ]
Question ouverte : Comment construiriez-vous un pentagone régulier à la règle non graduée et au compas ?
Non HP.
Dernière modification par mathophilie le 16 avr. 2016 14:13, modifié 4 fois.
Re: Exercices de pré-rentrée MPSI
Petite remarque anecdotique pour que les élèves de TS ne soient pas mis sur une fausse piste pour l'année prochaine : le théorème des valeurs intermédiaires et le théorème de Bolzano-Weierstrass sont de toute façon équivalents, puisque les deux sont vrais.
Re: Exercices de pré-rentrée MPSI
Ah je comprends la question de syl20 du coup ... Du coup pour compléter ma réponse...Si la fonction est dérivable, elle est nécessairement continue, mais sa dérivée n'est pas forcément continue ( l'exo serait trivial sinonMonsterkuru a écrit :Attention ! Une fonction peut être dérivable ( pas la peine de nommer la continuité... ) sans que sa dérivée soit continue ! Mais le TVI marche encore dans ce cas ( théorème de Darboux )
)Justement je trouvais l'intérêt de ce genre d'exos c'est d'être aussi des gardes fous pour pouvoir exposer des contre-examples (genre fonction continue mais pas dérivables etc ) et vérifier qu'on a bien compris les théorèmes du cours et les limites de leurs hypothèses.Monsterkuru a écrit :Bon, pour ceux à qui le fait qu'une fonction puisse être dérivable sans que sa fonction dérivée soit continue semble contre-intuitif. Considérez la fonction définie par ( exemple célèbre ) :
f(x) = x^2*sin(1/x) quand x est différent de 0 et qui est nulle en 0. Elle est bien dérivable en 0 mais sa dérivée n'est pas continue en 0. Vous pouvez faire un dessin de f et de sa dérivée pour voir qu'en fait, f se " tasse " bien en 0 ( le taux d'accroissement a une limite en 0 ), mais que sa dérivée oscille très très violemment en 0 aussi.
Bref, tout ça pour dire, en terminale, évitez de sortir des théorèmes de votre chapeau. Ça peut vous porter préjudice, clairement. Soyez prudents.
Re: Exercices de pré-rentrée MPSI
On considère une fonction dérivable définie sur $ \mathbb{R} $, de dérivée continuée, et dont la limite en plus l'infini est nulle. Est-ce que la dérivée de cette fonction a forcément une limite nulle en plus l'infini ?
Re: Exercices de pré-rentrée MPSI
symétrie a écrit :On considère une fonction dérivable définie sur $ \mathbb{R} $, de dérivée continuée, et dont la limite en plus l'infini est nulle. Est-ce que la dérivée de cette fonction a forcément une limite nulle en plus l'infini ?
SPOILER:
Re: Exercices de pré-rentrée MPSI
Exo 1 :
-Soit $ (u_{n}) $ une suite réelle définie par $ u_0 $ et $ u_1 $ tels que $ u_0 < u_1 $ et pour tout entier $ n > 1 $ par la relation $ u_{n}=\frac{u_{n-1}+u_{n-2}}{2} $.
- Montrer que $ (u_{n}) $ converge et calculer sa limite.
Exo 2 :
- Une suite réelle définie par $ u_0 $ et $ u_1 $ dans $ \Bbb R_+ $ et pour tout entier $ n\geq2 $ par $ u_n = \sqrt{u_{n-1}u_{n-2}} $
Montrer que $ (u_n) $ converge et donner sa limite.
Exo 3 :
-Soit $ (u_n) $ une suite d'entiers naturels deux à deux distincts. Montrer que $ (u_n) $ tend vers $ +\infty $.
-Soit $ (u_{n}) $ une suite réelle définie par $ u_0 $ et $ u_1 $ tels que $ u_0 < u_1 $ et pour tout entier $ n > 1 $ par la relation $ u_{n}=\frac{u_{n-1}+u_{n-2}}{2} $.
- Montrer que $ (u_{n}) $ converge et calculer sa limite.
Exo 2 :
- Une suite réelle définie par $ u_0 $ et $ u_1 $ dans $ \Bbb R_+ $ et pour tout entier $ n\geq2 $ par $ u_n = \sqrt{u_{n-1}u_{n-2}} $
Montrer que $ (u_n) $ converge et donner sa limite.
Exo 3 :
-Soit $ (u_n) $ une suite d'entiers naturels deux à deux distincts. Montrer que $ (u_n) $ tend vers $ +\infty $.