6 feuilles de brouillon et 2h30 heures de dessins de petits petits triangles. Ca y est je suis officiellement dégoutée de la géométrie.Exercice 562.1 : On considère le plan muni d'un repère orthonormé. On se donne un polygone dont tous les sommets ont des coordonnées entières. On note i le nombre de points à coordonnées entières intérieurs au polygone, et b ceux sur son bord. Montrer que l'aire du polygone est $ i + \frac{b}{2} - 1. $
SPOILER:
Déjà, on remarque qu'on peut découper le polygone considéré en triangles quelconques. Toutefois, le coefficient 0.5 nous fait bien comprendre qu'on aura affaire à des triangles rectangles. On note P la propriété : l'aire du polygone est $ i + \frac{b}{2} - 1. $
- D'abord, démontrons qu'un triangle quelconque à coordonnées entières répond à la propriété P. Et pour cela on démo qu'un rectangle à coordonnées entières répond à P. On va procéder par une espèce de récurrence :
(Initialisation) : Pour un rectangle avec b points sur les côtés et de largeur 1 : On peut subdiviser ce rectangle en petits carrés d'aire 1. Chaque carré est délimité par deux points (un en haut, un en bas) qui décrivent le côté gauche du carré. En quelque sorte, 1 carré = 2 points, toutefois, il y aura tout au bout à droite 2 points en trop. L'aire du rectangle étant la somme des petits carrés formés, on a $ A = \frac{b-2}{2} = \frac{b}{2} - 1 $. Or ici, comme le rectangle est de largeur 1, $ i=0 $. Donc Tous les rectangles de largeur 1 répondent à P.
(Hérédité) On considère un rectangle B avec i points à l'intérieur, b sur le bord, de largeur $ n $ et répondant à P. On vient accoler à ce rectangle, longueur contre longueur, un petit rectangle C avec b' points au bord, de largeur 1 et de même longueur $ \frac{b}{2} $ (répondant lui aussi à P comme démontré précédemment). On note R le rectangle nouvellement formé. L'aire A de R est égale à la somme des aires de B et C, donc $ A = i + \frac{b}{2} - 1 + \frac{b'}{2} - 1 = i + \frac{b}{2} + \frac{b'}{2} - 2 $. De plus, le nombres de points à l'intérieur de R est égal à i auquel on somme la longueur de C, moins les deux points aux extrémités. Donc $ i_R = i + \frac{b'}{2} - 2 $. Comme une longueur de B est convertie en points à l'intérieur de R, sauf deux d'entre eux, mais que l'on vient ajouter $ \frac{b'}{2} $ points au bord (la longueur de C), on a de plus : $ b_R = b+2 $.
Donc $ i_R + \frac{b_R}{2} - 1 = i + \frac{b'}{2} - 2 + \frac{b+2}{2} - 1 = i + \frac{b}{2} + \frac{b'}{2} - 2=A $. Donc par une espèce de récurrence, comme tout rectangle de longueur quelconque peut être construit ainsi, tout rectangle répond à P.
Comme un triangle rectangle est obtenu en coupant en deux un rectangle et que par symétrie, les deux triangles rectangles obtenus par ce coupage ont même i et même b, on en déduit que tout triangle rectangle répond à P.
- Maintenant, comment construit-on un triangle quelconque ? On peut considérer un rectangle, et on place 3 points sur les bords de ce rectangles, dont 1 au moins est distinct de tout "coin" du rectangle : les trois points déterminent ainsi un triangle quelconque. En ce sens, l'aire du rectangle de "construction" est partagée entre l'aire du triangle quelconque, et l'aire de triangles rectangles ! Si un triangle quelconque ne répondait pas à P, alors on ne pourrait pas composer avec des triangles rectangles pour que l'aire du rectangle réponde à P.
- Or, on peut départager un polygone simple en un nombre défini de triangles quelconques. On procède encore par récurrence. Avec 1 triangle quelconque, ca marche. On suppose maintenant que l'on peut subdiviser le polygone simple de caractéristiques (i;b) en un polygone B (i';b') répondant à P, de côté plus petit (lui même subdivisible en triangles...), et en 1 unique triangle C quelconque de caractéristiques (i'';b'') (répondant à P bien sûr). L'aire du polygone est la somme des aires de B et C, soit $ A = i' + i'' + \frac{b'}{2} + \frac{b''}{2} - 2 $
Supposons que la longueur commune à A et B ait x points sur son bord. On a alors : $ i=i' + i'' + x - 2 $ (les extrémités du segment commun ne formant pas des points intérieurs) et $ b=b' + b'' - 2x $. Donc $ i + \frac{b}{2} - 1 = i' + i'' + x - 2 + \frac{b'}{2} + \frac{b''}{2} - x = A $.
Donc le polygone nouvellement formé répond à P.
Etant donné qu'une telle subdivision permet de reconstituer tous les polygones à coordonnées entières, on en déduit la propriété.
Les récurrences de ce genre sont peut-être pas rigoureuses en géométrie, surtout que je savais pas comment faire l'initialisation...
- D'abord, démontrons qu'un triangle quelconque à coordonnées entières répond à la propriété P. Et pour cela on démo qu'un rectangle à coordonnées entières répond à P. On va procéder par une espèce de récurrence :
(Initialisation) : Pour un rectangle avec b points sur les côtés et de largeur 1 : On peut subdiviser ce rectangle en petits carrés d'aire 1. Chaque carré est délimité par deux points (un en haut, un en bas) qui décrivent le côté gauche du carré. En quelque sorte, 1 carré = 2 points, toutefois, il y aura tout au bout à droite 2 points en trop. L'aire du rectangle étant la somme des petits carrés formés, on a $ A = \frac{b-2}{2} = \frac{b}{2} - 1 $. Or ici, comme le rectangle est de largeur 1, $ i=0 $. Donc Tous les rectangles de largeur 1 répondent à P.
(Hérédité) On considère un rectangle B avec i points à l'intérieur, b sur le bord, de largeur $ n $ et répondant à P. On vient accoler à ce rectangle, longueur contre longueur, un petit rectangle C avec b' points au bord, de largeur 1 et de même longueur $ \frac{b}{2} $ (répondant lui aussi à P comme démontré précédemment). On note R le rectangle nouvellement formé. L'aire A de R est égale à la somme des aires de B et C, donc $ A = i + \frac{b}{2} - 1 + \frac{b'}{2} - 1 = i + \frac{b}{2} + \frac{b'}{2} - 2 $. De plus, le nombres de points à l'intérieur de R est égal à i auquel on somme la longueur de C, moins les deux points aux extrémités. Donc $ i_R = i + \frac{b'}{2} - 2 $. Comme une longueur de B est convertie en points à l'intérieur de R, sauf deux d'entre eux, mais que l'on vient ajouter $ \frac{b'}{2} $ points au bord (la longueur de C), on a de plus : $ b_R = b+2 $.
Donc $ i_R + \frac{b_R}{2} - 1 = i + \frac{b'}{2} - 2 + \frac{b+2}{2} - 1 = i + \frac{b}{2} + \frac{b'}{2} - 2=A $. Donc par une espèce de récurrence, comme tout rectangle de longueur quelconque peut être construit ainsi, tout rectangle répond à P.
Comme un triangle rectangle est obtenu en coupant en deux un rectangle et que par symétrie, les deux triangles rectangles obtenus par ce coupage ont même i et même b, on en déduit que tout triangle rectangle répond à P.
- Maintenant, comment construit-on un triangle quelconque ? On peut considérer un rectangle, et on place 3 points sur les bords de ce rectangles, dont 1 au moins est distinct de tout "coin" du rectangle : les trois points déterminent ainsi un triangle quelconque. En ce sens, l'aire du rectangle de "construction" est partagée entre l'aire du triangle quelconque, et l'aire de triangles rectangles ! Si un triangle quelconque ne répondait pas à P, alors on ne pourrait pas composer avec des triangles rectangles pour que l'aire du rectangle réponde à P.
- Or, on peut départager un polygone simple en un nombre défini de triangles quelconques. On procède encore par récurrence. Avec 1 triangle quelconque, ca marche. On suppose maintenant que l'on peut subdiviser le polygone simple de caractéristiques (i;b) en un polygone B (i';b') répondant à P, de côté plus petit (lui même subdivisible en triangles...), et en 1 unique triangle C quelconque de caractéristiques (i'';b'') (répondant à P bien sûr). L'aire du polygone est la somme des aires de B et C, soit $ A = i' + i'' + \frac{b'}{2} + \frac{b''}{2} - 2 $
Supposons que la longueur commune à A et B ait x points sur son bord. On a alors : $ i=i' + i'' + x - 2 $ (les extrémités du segment commun ne formant pas des points intérieurs) et $ b=b' + b'' - 2x $. Donc $ i + \frac{b}{2} - 1 = i' + i'' + x - 2 + \frac{b'}{2} + \frac{b''}{2} - x = A $.
Donc le polygone nouvellement formé répond à P.
Etant donné qu'une telle subdivision permet de reconstituer tous les polygones à coordonnées entières, on en déduit la propriété.
Les récurrences de ce genre sont peut-être pas rigoureuses en géométrie, surtout que je savais pas comment faire l'initialisation...
