Exos sympas MP(*)

[JC_Math]

Voici un exo vu aux ENS l'an dernier

Si $ k,n $ sont dans $ \mathbb N $, montrer que $ (n)!^k $ divise $ (nk)! $.

Et une amélioration, pas encore vu aux ENS, mais peut être pour bientôt ?

Si $ k,n $ sont dans $ \mathbb N $, montrer que $ (n)!^k k! $ divise $ (nk)! $.

Qui dit mieux ?

[rabhix98]

Aller je me lance...

SPOILER:

Je sais pas grand chose de l'arithmétique de prépas mais je passerais par la valuation p-adique puis lemme de Legendre et me retrouver avec une (in?)equation de partie entière...

[JC_Math]

En voici un autre, pas issu des concours, mais qui pourrait l'être

Soit $ p $ un nombre premier impair. Montrer qu'il existe au plus $ (p-1)/2 $ valeurs de $ n $ dans $ \{0,1,\ldots, p-1\} $ telles que $ p $ divise $ \displaystyle \sum_{k=0}^{p-1}n^kk! $

[VanXoO]

Voici un exo vu aux ENS l'an dernier

Si $ k,n $ sont dans $ \mathbb N $, montrer que $ (n)!^k $ divise $ (nk)! $.

Et une amélioration, pas encore vu aux ENS, mais peut être pour bientôt ?

Si $ k,n $ sont dans $ \mathbb N $, montrer que $ (n)!^k k! $ divise $ (nk)! $.

Qui dit mieux ?

SPOILER:

Idée : un produit de n entiers consécutifs est toujours divisible par n!.

$ \displaystyle \frac{(nk)!}{n!^k} = \prod_{i=1}^k\frac{(in)!}{((i-1)n)!n!} = \prod_{i=1}^k {in \choose n} \in \mathbb{N} $

De plus pour $ 1\leq i \leq k $, $ \displaystyle {in \choose n} = \frac{in(in-1)!}{n(n-1)!((i-1)n)!} = i{n-1 \choose in-1} $

D'où $ \displaystyle \frac{(nk)!}{n!^kk!} = \prod_{i=1}^k {in-1 \choose n-1} \in \mathbb{N} $

[eugene.auguste]

Bon j'ai proposé un exercice dans le cadre du programme, pourquoi est qu'on me l'a supprimé ?...

[Syl20]

Bon j'ai proposé un exercice dans le cadre du programme, pourquoi est qu'on me l'a supprimé ?...

T'es sûr qu'il est dans le programme de spé ??
C'est pas le topic de pré rentrée

[Siméon]

SPOILER:

Idée : un produit de n entiers consécutifs est toujours divisible par n!.

$ \displaystyle \frac{(nk)!}{n!^k} = \prod_{i=1}^k\frac{(in)!}{((i-1)n)!n!} = \prod_{i=1}^k {in \choose n} \in \mathbb{N} $

De plus pour $ 1\leq i \leq k $, $ \displaystyle {in \choose n} = \frac{in(in-1)!}{n(n-1)!((i-1)n)!} = i{n-1 \choose in-1} $

D'où $ \displaystyle \frac{(nk)!}{n!^kk!} = \prod_{i=1}^k {in-1 \choose n-1} \in \mathbb{N} $

Tu peux aussi chercher une solution plus géométrique et sans calcul, en construisant des sous-groupes de $ \mathfrak S_{nk} $.

[Siméon]

En voici un autre, pas issu des concours, mais qui pourrait l'être

Soit $ p $ un nombre premier impair. Montrer qu'il existe au plus $ (p-1)/2 $ valeurs de $ n $ dans $ \{0,1,\ldots, p-1\} $ telles que $ n $ divise $ \displaystyle \sum_{k=0}^{p-1}n^kk! $

Je suppose que tu voulais écrire « telles que $ p $ divise [...] », non ?

[Siegfried]

SPOILER:

Idée : un produit de n entiers consécutifs est toujours divisible par n!.

$ \displaystyle \frac{(nk)!}{n!^k} = \prod_{i=1}^k\frac{(in)!}{((i-1)n)!n!} = \prod_{i=1}^k {in \choose n} \in \mathbb{N} $

De plus pour $ 1\leq i \leq k $, $ \displaystyle {in \choose n} = \frac{in(in-1)!}{n(n-1)!((i-1)n)!} = i{n-1 \choose in-1} $

D'où $ \displaystyle \frac{(nk)!}{n!^kk!} = \prod_{i=1}^k {in-1 \choose n-1} \in \mathbb{N} $

Tu peux aussi chercher une solution plus géométrique et sans calcul, en construisant des sous-groupes de $ \mathfrak S_{nk} $.

C'est ce à quoi je pensais, mais tu t'en sors sans Lagrange ? (Il me semble qu'il est HP en MP)

[eugene.auguste]

Oui oui Syl20
Du coup je le repose :
Montrer que dans un espace ultramétrique, tout triangle est isocèle, toute boule ouverte est fermée, toute boule fermée est ouverte, et pour tout couple de boules, soit l'une est incluse dans l'autre soit leur intersection est vide
Edition :
Par espace ultramétrique j'entends espace métrique dont la distance vérifie :
$ \forall (a, b, c) \in E^3, d(a, c) \leq max(d(a, b), d(b, c)) $