Exos sympas MP(*)
Re: Exos sympas MP(*)
Pour ajouter au fantasme : bien connaitre tout ce qui est décrit dans ce post sur les graphes planaires (car Nicolas Curien aime bien) http://mathoverflow.net/questions/7114/ ... /7116#7116
Re: Exos sympas MP(*)
C'est pas tellement une question de fantasme, c'est juste qu'à partir du moment où certains (mais pas tous) le savent, peu importe si ça a un intérêt, tout le monde doit le savoir. Personne ne parle d'apprendre par cœur tous les travaux de l'examinateur. Maintenant, le fait est que savoir que c'est un spécialiste de probas a étonné certaines connaissances qui devaient se dire qu'au fond « à Maths Ulm y'a que de l'algèbre ».
Re: Exos sympas MP(*)
Le Gall nous a carrément vendu la mèche à la semaine de la SMF : lors de cet oral, on parlera de géométrie aléatoire. Notamment de la convergence vers la carte brownienne pour la classe des triangulations sur la sphère 2D (pour simplifier).
"[...] On dira que le nombre $ L $ est limite de cette suite, si, pour tout nombre réel donné $ \varepsilon $, si petit soit-il, il existe un nombre entier $ n $ tel que l'ont ait $ |L−S_n|<\varepsilon $."
Alain Badiou, Eloge des mathématiques.
Alain Badiou, Eloge des mathématiques.
Re: Exos sympas MP(*)
Autre énoncé découvert lors de cette semaine épique. Attention, d'après le conférencier, c'est le prochain sujet d'agreg. 
C'est le genre de truc dont on peut penser que ça a été démontré depuis longtemps.
$ \mathbb{R}^2 $ est muni de sa structure euclidienne usuelle. On considère une application $ f:\mathbb{R}^2\to \mathbb{R}^2 $ telle que $ || f(y)-f(x)||\leq || x-y|| $ pour tout $ x,y $ dans $ \mathbb{R}^2 $. Pour tout entier naturel $ n $, on note $ f^n $ la $ n^\mathrm{e} $ itérée de $ f $.
Démontrez que, pour tout $ x $ dans $ \mathbb{R}^2 $, la suite $ (f^n (x)/n) $ converge.
Dans les faits, ça s'adresse plus aux profs de prépa qu'à leurs étudiants. Mais bon, ça s'attaque.
C'est le genre de truc dont on peut penser que ça a été démontré depuis longtemps.
$ \mathbb{R}^2 $ est muni de sa structure euclidienne usuelle. On considère une application $ f:\mathbb{R}^2\to \mathbb{R}^2 $ telle que $ || f(y)-f(x)||\leq || x-y|| $ pour tout $ x,y $ dans $ \mathbb{R}^2 $. Pour tout entier naturel $ n $, on note $ f^n $ la $ n^\mathrm{e} $ itérée de $ f $.
Démontrez que, pour tout $ x $ dans $ \mathbb{R}^2 $, la suite $ (f^n (x)/n) $ converge.
Dans les faits, ça s'adresse plus aux profs de prépa qu'à leurs étudiants. Mais bon, ça s'attaque.
"[...] On dira que le nombre $ L $ est limite de cette suite, si, pour tout nombre réel donné $ \varepsilon $, si petit soit-il, il existe un nombre entier $ n $ tel que l'ont ait $ |L−S_n|<\varepsilon $."
Alain Badiou, Eloge des mathématiques.
Alain Badiou, Eloge des mathématiques.
Re: Exos sympas MP(*)
Pour l'exercice sur le pavage, la réponse est dans Raisonnements Divins de Martin Aigner et M.Ziegler.
Re: Exos sympas MP(*)
Venant de Le Gall, je m'attendrais plutôt à de la percolation...kakille a écrit :Le Gall nous a carrément vendu la mèche à la semaine de la SMF : lors de cet oral, on parlera de géométrie aléatoire. Notamment de la convergence vers la carte brownienne pour la classe des triangulations sur la sphère 2D (pour simplifier).
Professeur de Mathématiques en MP*/MPI* au lycée Hoche
Re: Exos sympas MP(*)
Il a plusieurs marottes. Ca complique sérieusement les révisions.
"[...] On dira que le nombre $ L $ est limite de cette suite, si, pour tout nombre réel donné $ \varepsilon $, si petit soit-il, il existe un nombre entier $ n $ tel que l'ont ait $ |L−S_n|<\varepsilon $."
Alain Badiou, Eloge des mathématiques.
Alain Badiou, Eloge des mathématiques.
Re: Exos sympas MP(*)
Apparemment les calembours ne prennent plus... Snif...
Professeur de Mathématiques en MP*/MPI* au lycée Hoche
Re: Exos sympas MP(*)
Le goût ! J'y étais pas. 
"[...] On dira que le nombre $ L $ est limite de cette suite, si, pour tout nombre réel donné $ \varepsilon $, si petit soit-il, il existe un nombre entier $ n $ tel que l'ont ait $ |L−S_n|<\varepsilon $."
Alain Badiou, Eloge des mathématiques.
Alain Badiou, Eloge des mathématiques.
Re: Exos sympas MP(*)
En voici un que je viens de découvrir par hasard, non posé aux oraux
Soient $ n,k\in \mathbb N^* $, avec $ k $ impair. Montrer que $ 1+2+\cdots +n $ divise $ 1^k+2^k+\cdots n^k $.