Exos sympas MPSI

[Jeannonyme]

Pensez-vous qu'on puisse trouver l'expression exacte de g(x) ou ou que l'on peut uniquement "se contenter" de montrer l'existence d'une solution de l'équation fonctionnelle d'inconnue g ?

[apzoeiruty3]

Si je dis pas de bêtises on peut trouver une expression explicite, éventuellement "par morceaux"

[Bidoof]

La dernière méthode me semble très élégante, même si ce n'est pas la plus courte. Un argument similaire (utilisant les valuations 2-adiques) permet d'établir que pour tout n>=2, la n°ième somme partielle de la série harmonique n'est pas un entier.

Cette citation vient d'un passé lointain (Cf http://forum.prepas.org/viewtopic.php?f ... start=1995).

Quelqu'un pourrait-il développer cet argument s'il vous plait ?

SPOILER:

J'ai démontré ce fait par récurrence en remarquant que les sommes partielles étaient des fractions de numérateur impair et dénominateur pair (donc pas un entier naturel).
- Pour le cas où on suppose qu'une somme d'un nombre pair de termes vérifie l'hypothèse alors l'hérédité est aisée.

- Pour le cas d'une somme avec un nombre impair de termes, on remarque qu'on obtient une fraction de termes paires, donc j'ai essayé de factoriser la fraction par une puissance de 2, pour cela j'ai caractérisée la fraction en utilisant le ppcm de la suite des entiers de 1 à n mais sans succès, d'où mon intérêt pour cet argument.
Pour m'en sortir j'ai regroupé les termes pairs et impairs et une récurrence forte permet de conclure.

[gchacha]

Voici un lemme classique : Soit $ (u_n)_{n\in \mathbb{N}} $ une suite réelle ou complexe qui vérifie : $ \lim \limits_{n\to +\infty}(u_{n+1}-u_n)=0 $ alors on a : $ \lim \limits_{n\to +\infty}\frac{u_{n+1}}{n}=0 $.

[Jio15]

Voici un lemme classique : Soit $ (u_n)_{n\in \mathbb{N}} $ une suite réelle ou complexe qui vérifie : $ \lim \limits_{n\to +\infty}(u_{n+1}-u_n)=0 $ alors on a : $ \lim \limits_{n\to +\infty}\frac{u_{n+1}}{n}=0 $.

Il me semble qu'on a fait le théorème de Cesaro il y a quelques pages, est-ce que ça vaut vraiment le coup de le revoir ?

[Bidoof]

Un lemme "trop" classique lol.
On peut noter que l'ensemble des valeurs d'adhérence d'une suite réelle qui vérifie l'hypothèse est un intervalle.
Ce qui nous emmène à un autre lemme, le lemme des prisonniers (qui est tombé en oral de polytechnique, dans un passé lointain aussi).

[gchacha]

Si Césàro est trop classique voici un théorème un peu plus exotique : Soit $ P $ un polynôme de $ \mathbb{R}_n[X] $ de degré $ n\ge 1 $, ayant $ n $ racines deux à deux distinctes disposées dans l'ordre croissant (on notera $ x_1<...<x_n $) et$ P' $ son polynôme dérivé qui a $ n-1 $ racines deux à deux distinctes disposées dans l'ordre croissant (on notera $ y_1<...<y_{n-1} $). On note $ d $ la distance entre deux racines de $ P $ et $ d' $ celle entre deux racines de $ P' $. Montrer que $ d'>d $.

Voici une indic :

SPOILER:

On pourra considérer la fraction rationnelle $ \frac{P'}{P} $ et l'étudier sur un intervalle du type $ ]x_i,x_{i+1}[ $.

[JeanN]

Voici un lemme classique : Soit $ (u_n)_{n\in \mathbb{N}} $ une suite réelle ou complexe qui vérifie : $ \lim \limits_{n\to +\infty}(u_{n+1}-u_n)=0 $ alors on a : $ \lim \limits_{n\to +\infty}\frac{u_{n+1}}{n}=0 $.

Il me semble qu'on a fait le théorème de Cesaro il y a quelques pages, est-ce que ça vaut vraiment le coup de le revoir ?

Pour toi, non vu que tu vas intégrer

[Jio15]

C'est drôle qu'on me fasse cette remarque alors qu'il y a des mecs qui traînent sur le forum (y compris sur les topics pré-MPSI, MPSI ou MP) qui ont intégré il y a plusieurs années...

Celui-là je l'ai eu en colle en sup, il est marrant :

Soit $ P $ un polynôme à racines simples $ (x_1,...,x_n) $. Montrer que $ \sum_{i=1}^n \frac{P''(x_i)}{P'(x_i)} = 0 $.

(Mais faites l'exo de gchacha avant, le résultat est vraiment cool)

[gchacha]

Un peu d'arithmétique classique : "Soit $ n>1 $ un entier et $ a\in\mathbb{Z} $ tel que pgcd$ (a,n)=1 $. Montrer qu'il existe $ x,y \in \mathbb{Z} $ avec $ 0<\mid x\mid, \mid y \mid < \sqrt{n} $ tels que : $ ax \equiv y \ [n] $."

(Application) : "Montrer alors que tout nombre premier de la forme $ 4n+1 $ peut s'écrire sous la forme $ a^2 + b^2 $ avec $ a,b \in \mathbb{Z} $ et pgcd$ (a,b)=1 $."
Indic essentielle :

SPOILER:

On pourra montrer dans un premier temps que $ x^2 \equiv -1 \ [p] \Leftrightarrow p=4k+1 $ avec $ k\in \mathbb{Z} $.