Exercices de MPSI

[kakille]

Il y a discours récurrent qui critique l'introduction des probabilités au lycée ou en première et deuxième année au motif qu'il leur manque des fondations, essentiellement la théorie de la mesure. Par soucis de cohérence, ce même discours ne devrait-il pas aussi s'interroger sur les autres points du programme ?

Je pense que cette critique se porte souvent sur les probabilités parce qu'elles sont dans les dernières à être arrivées.

[Coryllis]

Si. Moi je trouve ça très intéressant de faire des probas dès le lycée. D'ailleurs on a pas besoin de théorie de la mesure pour ça, les probas qu'elles soient continues ou discrètes existent depuis bien plus longtemps que la formalisation de Kolmogorov qui a surtout un effet unificateur au départ.
Et contrairement à ce que prétend MATHADOR, ce serait une mauvaise idée d'attendre trop longtemps pour les expédier en un an : l'expérience montre au contraire que les probas sont parmi les domaines des maths sur lesquels les élèves ont la plus mauvaise intuition, sans doute justement parce que pendant très longtemps on en faisait pas avant la L3.
Sans compter qu'attendre la théorie de la mesure pour faire des probas laisse penser qu'elles n'en sont qu'un cas particulier. C'est techniquement vrai, n'empêche qu'en pratique l'intuition demandée pour travailler sur les mesures et celle pour les probas sont très différentes .. Tiens, rien que les histoires de variables indépendantes, on a aucune notion équivalente en théorie de la mesure alors que c'est fondamental en proba.

Bref, ça n'aurait un intérêt que "logique", sauf qu'effectivement on a arrêté d'enseigner les maths dans l'ordre logique depuis les "maths modernes". Depuis on s'est dit que c'était plus efficace de donner l'intuition des différentes notions avant d'en donner une formalisation qui sans ça parait arbitraire. Et je suis totalement pour étant donné que c'est aussi comme ça qu'on fait des maths dans la vraie vie (comme je le disais, les mathématiciens n'ont pas attendu Kolmogorov pour faire des probas ..)


D'ailleurs comme tu le dis, tout le programme du secondaire fonctionne ainsi. A ce titre ce serait absurde de faire de la trigonométrie alors qu'on peut pas définir formellement la longueur d'une courbe, la notion d'angle, le lien entre exponentielle et fonctions trigos, avant la L2. Ça se défendrait d'ailleurs, mais je suis sûr que si on l'enlevait des programmes on aurait une marée de plainte, exactement comme quand on a retiré la plupart des trucs concernant l'intégration .. (Alors que justement l'argument "théorie de la mesure" était encore plus pertinent dans ce cas) T'imagines un bac S où on aurait même plus besoin de connaître le nombre $ \pi $ ?
Il y aura toujours une grande majorité des gens pour se plaindre des réformes du secondaire, quelles que soient les décisions prises. C'est presque axiomatique De fait, on y est plus, on a autre chose de notre vie à faire que réfléchir à la philosophie que devraient transmettre les programmes, et on a rarement assez de recul pour voir comment s'en sortent finalement ceux qui ont appris les maths "à la française" par rapport aux autres.

[Mykadeau]

Pour donner un ressenti de term, la critique que la plupart des bons élèves font des probas qui nous sont enseignés est justement que rien n'est poussé. C'est à dire que ces chapitres semblent encore plus simplet que les autres . Les probas sont d'ailleurs souvent les chapitres préférés des élèves en difficultés. De plus ces chapitres vampirisent le bac, ce qui nous mène à une toute petite diversité de sujets.

[MATHADOR]

Sans compter qu'attendre la théorie de la mesure pour faire des probas laisse penser qu'elles n'en sont qu'un cas particulier. C'est techniquement vrai, n'empêche qu'en pratique l'intuition demandée pour travailler sur les mesures et celle pour les probas sont très différentes .. Tiens, rien que les histoires de variables indépendantes, on a aucune notion équivalente en théorie de la mesure alors que c'est fondamental en proba.

Les probabilités sont un cas particulier de la théorie de la mesure, il n'y a aucun débat sur ça, même pour les probabilités discrètes vues en prépa. Ce n'est pas "simplement techniquement vrai". Quant à ta remarque sur l'indépendance, la notion fondamentale est celle d'indépendance de sous-tribus, pas celle d'événements ou de variables aléatoires. D'autre part, même si une notion est communément définie dans le cadre des espaces probabilisés, il n'en reste pas moins qu'elle s'inscrit dans le cadre de la théorie de la mesure et ça ne contredit en rien la première phrase de ce paragraphe.

l'expérience montre au contraire que les probas sont parmi les domaines des maths sur lesquels les élèves ont la plus mauvaise intuition, sans doute justement parce que pendant très longtemps on en faisait pas avant la L3.

De quelle expérience parles-tu ? Quand je vois mes camarades et collègues probabilistes, entre le niveau disons M1 et doctorat dans le domaine, je constate surtout des lacunes en analyse et en théorie de la mesure, surtout dès lors qu'on en a besoin pour un niveau un peu avancé (en gros niveau M2 d'analyse) pour l'utiliser en probabilités. Je sais que plusieurs responsables de cours (dont certains très appliqués) de masters parisiens reconnus en probabilités théoriques et appliquées partagent mon avis. Au bout d'un moment, surtout lorsque les probabilités sont utilisées en tant qu'outil applicatif (au hasard en finance quantitative), tout le monde l'a, l'"intuition probabiliste". Par contre, la véritable compréhension des outils manipulés, c'est moins évident et cela se remarque les gens se retrouvent dans des situations non triviales. Beaucoup d'utilisateurs des probabilités ne comprennent pas les théorèmes qu'ils manipulent et ne savent même pas que certains résultats qu'ils utilisent au quotidien reposent sur le caractère fini de la masse totale d'une mesure de probabilité.

@kakille, d'après moi, voir les fondations (hormis la notion intuitive d'ensemble que je trouve légitime d'admettre jusqu'en L3 et peut-être deux ou trois autres choses qui auraient par contre toute leur place dans le cours d'informatique) avant ou au moins en parallèle des cas particuliers dans une filière post-bac mathématique (donc en MPSI/MP, pas forcément ailleurs) serait une bonne chose. En prépa, c'est ainsi que procédait l'un de mes profs en topologie/analyse pour les notions de continuité, compacité ou connexité par exemple. Même chose pour pas mal d'outils de l'algèbre. On voyait successivement la définition générale, puis dans un espace métrique avec les epsilons ou la distance, puis dans un evn comme le stipule le programme. En TD on insistait évidemment plus sur les evn mais au moins le cours permettait de prendre du recul et de comprendre certaines spécificités (sans être obligé de se rabaisser à la justification calculatoire pour s'en convaincre) dues aux limitations du programme (unicité de la limite par exemple, pourquoi on s'en fiche qu'il y ait des $ \leq $ ou des $ < $ dans pas mal de définitions, etc.). Surtout, j'ai l'impression que dès qu'on parle de fondements mathématiques aux gens, ils pensent tout de suite "ah mais c'est nul de faire Bourbaki en maternelle personne comprend". Déjà, on parle de la filière post-bac et les élèves sont globalement moins cons qu'on ne le croit. De plus, il est tout a fait possible de faire quelque chose de rigoureux, pas trop austère, tout en faisant le parallèle avec des choses "plus concrètes" (pour la conscience de certains). Enfin, les gens prennent pour axiome que les choses abstraites sont plus difficiles à comprendre que les choses concrètes. C'est étrange pour des personnes qui se prétendent scientifiques. Pour ma part, lorsque le prof nous a fait découvrir en sup en parallèle certaines propriétés de topologie générale et leurs déclinaisons dans le cadre des evn (de $ \mathbb R $ en fait), je trouvais les démonstrations des secondes souvent plus difficiles, car plus calculatoires et il fallait faire plus attention, alors que les premières étaient de simples manipulations ensemblistes, comme dans le premier chapitre de l'année finalement.

[Coryllis]

Les probabilités sont un cas particulier de la théorie de la mesure, il n'y a aucun débat sur ça, même pour les probabilités discrètes vues en prépa.

Je pense qu'on s'est mal compris. Si tu penses qu'il n'y a aucun débat sur ça, je te renvoie à des livres de probabilités écrit par des chercheurs sans doute plus expérimentés sur le sujet que nous deux, regarde la préface du livre de Candelpergher par exemple pour voir que non, tout le monde n'est pas d'accord avec toi.
Alors par contre faut s'entendre sur la notion de "cas particulier". Évidemment tout le monde s'entend sur le fait que les probas se formalisent à travers la théorie de la mesure. Quand je dis que ce n'est pas un cas particulier, je veux juste signifier que les raisonnements qu'on nous demande en proba sont d'un esprit souvent différent de ceux qu'on nous demande en théorie de la mesure. Par exemple, la théorie des corps peut être vue comme un cas particulier de la théorie des anneaux si on part du principe qu'un corps n'est qu'un anneau où tout est inversible, et ce n'est pas choquant non plus de dire que c'est des domaines qui n'ont quasiment rien à voir parce que les propriétés générales des anneaux sont souvent triviales sur les corps et les deux objets sont utilisés dans des domaines assez différentes et demandent une intuition très différente aussi.
Bref le vocabulaire que j'ai choisit est sans doute discutable, mais n'épiloguons pas sur ce choix je ne pense pas que ce soit le plus intéressant.
Je détaillerais un peu plus loin pourquoi je trouve ça néfaste de se contenter d'un esprit "application des mesures".

De quelle expérience parles-tu ? Quand je vois mes camarades et collègues probabilistes, entre le niveau disons M1 et doctorat dans le domaine, je constate surtout des lacunes en analyse et en théorie de la mesure, surtout dès lors qu'on en a besoin pour un niveau un peu avancé (en gros niveau M2 d'analyse) pour l'utiliser en probabilités. [..] Beaucoup d'utilisateurs des probabilités ne comprennent pas les théorèmes qu'ils manipulent et ne savent même pas que certains résultats qu'ils utilisent au quotidien reposent sur le caractère fini de la masse totale d'une mesure de probabilité.

Alors, l'expérience dont je parle :

- D'abord, les cours de probabilités de L3 en question. Dans l'école où j'étais, il était assez communément accepté comme le cours le plus compliqué, parce que justement assez peu intuitif. Un exemple qui me vient parmi tant d'autres, la loi de Poisson, que tout le monde utilisait en mode bachotage sans vraiment savoir d'où elle sort et dans quelles situations il est logique de l'employer. Vois-tu, d'après moi on peut avoir tout compris à la théorie de la mesure sans comprendre ce genre de choses, qui me semblent pourtant fondamentales en probabilités. C'est pour ce type de soucis que je trouve néfaste de se limiter au point de vue "cas particulier des mesures".
Sans parler de tout ce qui concerne les automates probabilistes (où j'ai du mal à voir quel genre d'intuition peuvent nous donner les mesures), ou les martingales.

- Plusieurs livres de proba que j'ai lu, comme celui cité plus haut ou celui de Ouvrard, dont les auteurs ont enseigné les probas et partagent cette opinion. Bon après tu cites toi-même tes profs de M2, on va pas se lancer dans une bataille d'arguments d'autorité. Mais bon, je cite ces auteurs parce que leurs opinions ont le mérite d'être facilement vérifiable, il suffit d'aller regarder la préface de leurs livres (enfin je crois, peut-être faut-il aller un peu plus loin que la préface au fond ..)

- La mienne, tout au long de ma préparation à l'agreg et des cours particuliers que j'ai pu donner, où j'ai constaté les difficultés de beaucoup à passer au-dessus du côté bachotage des probas pour se faire une véritable intuition.

Par contre, concernant les lacunes dont tu parles, "en analyse et en théorie de la mesure". Déjà c'est un peu vague ton histoire de "lacunes en analyse" .. De mon côté je ne note pas de "lacunes en analyse" chez ceux qui font des M2 orientés analyse ou de proba, pas plus que de "lacunes en algèbre" chez ceux qui font des M2 orientés théorie des nombres. Bref je serais pas contre un peu plus de précision.
Mais entendons-nous bien : je suis d'accord sur l'idée que le manque de maîtrise en théorie de la mesure est problématique chez les élèves qui découvrent les probas et ne les aide clairement pas à maîtriser le sujet. Mais là où tu penses que c'est le soucis principal moi je pense que tu lui accordes trop d'importance. J'ai jamais entendu dire par exemple que les élèves ne maîtrisaient pas assez les espaces Lp quand ils font de l'analyse fonctionnelle, ou que les élèves de M2 ont des difficultés particulières avec toutes les propriétés des intégrales. Au contraire, quand je regarde les M2 d'analyse dans mon entourage je suis souvent bluffé par leur virtuosité sur ces sujets, mais bon comme je suis plutôt un algébriste l'argument n'est pas forcément convainquant.

D'ailleurs je vois pas non plus de lacunes flagrantes en proba chez ceux qui s'orientent vers un M2 de probas, mon problème à moi concerne principalement le moment où l'on est (ou était) introduit à ce domaine, autour du L3, et donc tous les élèves qui plus tard iront dans d'autre domaines. Et là aussi, chez les algébristes qui préparaient l'agreg avec moi, les raisonnements sur les intégrales ou les espaces Lp, ça allait, mais les probas c'était impasse la moitié du temps. Ça montre à mes yeux que c'est bien les probas qui posent fondamentalement problème, et pas la théorie de la mesure dont on a déjà besoin pour d'autres domaines (même si ce n'est clairement pas ce qui est le mieux maîtrisé).

[siro]

Pour ma part, lorsque le prof nous a fait découvrir en sup en parallèle certaines propriétés de topologie générale et leurs déclinaisons dans le cadre des evn (de $ \mathbb R $ en fait), je trouvais les démonstrations des secondes souvent plus difficiles, car plus calculatoires et il fallait faire plus attention, alors que les premières étaient de simples manipulations ensemblistes, comme dans le premier chapitre de l'année finalement.

Plutôt d'accord, même si c'est à voir au cas par cas (certaines preuves dans le cadre des maths de la vie de tous les jours sont assez simples mais deviennent infâmes dans un cadre très abstrait).

Sinon, mesdames messieurs les modos, vous voulez pas ouvrir un grand topic général sur "discussion sur les programmes de maths dans l'enseignement", et tout centraliser dessus ? Ca libèrerait ce topic qui n'est pas vraiment porté sur la question des proba.

[Mykadeau]

Petite question, pour intégrer x*sqrt(1+x^2), il y a t-il une astuce? C'est surement une IPP mais je n'ai pas réussi à aboutir pour le moment .

[spemaths]

Nope c'est du type u'f(u)

[donnerwetter]

Petite question, pour intégrer x*sqrt(1+x^2), il y a t-il une astuce? C'est surement une IPP mais je n'ai pas réussi à aboutir pour le moment .

Souviens-toi que sqrt(u) c'est u^1/2 pour u positif

[Mykadeau]

Petite question, pour intégrer x*sqrt(1+x^2), il y a t-il une astuce? C'est surement une IPP mais je n'ai pas réussi à aboutir pour le moment .

Souviens-toi que sqrt(u) c'est u^1/2 pour u positif

Dans mon cou's c'est marqué n entier pour le u'u^n enfaite