Catégories

[charlestiran]

Bonjour a tous,

Je me cite sur une autre conversation et ouvre un nouveau sujet afin de ne pas polluer:

Pareil que symétrie je veux bien un avis sur calcul infinitésimal de Dieudonné. Et aussi si quelqu'un connait un bon livre écrit en français* sur les catégories, j'en cherche un pour apres les oraux

*je sais qu'il y a "category for the working mathematician" en anglais, j'en cherche si possible un en francais.

Comme dit ci dessus, je recherche un livre ou un cours qui traite en profondeur de la theorie des catégories. Mais comme je suis complique: ce qui m'interesse, ce ne sont pas les definitions de wikipedia meme si elles sont tres bien mais un cours avec le fondement de la theorie et son developpement. Une autre contrainte est que je recherche quelque chose si possible ecrit en français. J'ai regarde un exemple de cours donne au MRPI mais c'est a destinations d'informaticiens theoriciens essentiellement et la rigueur mathematique n'est pas de mise a mon gout, c'est en fait pour illustrer le lambda calcul et ce n'est pas ce que je recherche.

Pour resumer je veux:
-vision maths des categories, pas informatique ou simple illustration d'algebre
-fondements de la theorie
-en francais
-developpement si possible le plus exhaustif de la theorie, si c'est un pave de 500 ou 1000 pages c'est pas grave, au contraire meme
-facultatif: si les exemples utilisent des bribes d'algebre et de topologie c'est encore mieux

PS: vous etudiez les categories avant le M2 dans les ENS?

Merci de votre aide

[kakille]

Tu as bien sûr regardé dans les rayons de la bibliothèque de ton école ou dans les références des nombreuses bu parisiennes liées à la tienne.

Tu as bien sûr demandé à tes enseignants universitaires avant de demander une référence sur un forum de prépa où, même s'il y traîne des profs, cette théorie ne constitue pas le fond commun.

Tu as bien sûr demandé sur un site plus généraliste.

Comme tu n'as pas obtenu ce que tu cherches par ces canaux, il est évident que c'est ici que tu vas y parvenir.

Quant au français, sur certains sujets, c'est une contrainte trop sévère.

[Siméon]

Le cours d'Alain Prouté me semble convenir à ta demande : http://www.logique.jussieu.fr/~alp/cours_2010.pdf

PS: vous etudiez les categories avant le M2 dans les ENS?

La question ne se pose pas en ces termes. Mais certains normaliens suivent des cours de M2 dès la première année.

[siro]

Le cours d'Alain Prouté me semble convenir à ta demande : http://www.logique.jussieu.fr/~alp/cours_2010.pdf

La police du début donne des envies de meurtre... je crois que du Comic sans MS aurait été moins horrible.

[Vault]

Je plussoie pour le cours d'Alain Prouté qui semble correspondre à ta vision: orienté "logique", en particulier l'objectif n'est pas d'aller le plus vite possible pour pouvoir attaquer un certain domaine (au hasard, la topologie algébrique...). Après il est peut-être préférable de commencer par un cours qui a justement pour but d'aller vers des applications, comme le cours pour préparer la topo alg., aussi présent sur le site d'Alain Prouté.

Après, si tu veux aller plus loin au cas où tu aies fini le cours d'Alain Prouté...il y a beaucoup de prolongements différents et la littérature est assez étendue (mais souvent en anglais). On peut citer l'étude de la théorie des types (bon, c'est indépendant mais il y a de "l'interplay" tout à fait intéressant avec les catégories), la théorie homotopique des types(HoTT), les catégories supérieures etc. et les liens avec l'info théorique sont assez intéressants.. Avec la physique théorique aussi (et encore beaucoup d'autres sujets...). Bon, pour ne pas rester dans le name-dropping, quelques références:
https://ncatlab.org/nlab/show/relation+ ... ory+theory
et plus généralement toutes les pages du nlab, et en particulier:
https://ncatlab.org/nlab/show/mathematics
Pour les catégories supérieures:
https://arxiv.org/abs/math/0608040
Pour HoTT:
https://homotopytypetheory.org/book/
& un cours:
http://www.cs.cmu.edu/~rwh/courses/hott/
Pour en revenir aux bases de la théorie des catégories, je peux citer un petit bouquin (en anglais) :
Tom Leinster, Basic Category Theory.

Après ceci reste surtout une liste (laaaaargement non exhaustive) de références, et certaines sont assez difficiles et surtout, tu auras beaucoup de boulot à faire, même après le Prouté, pour attaquer certains de ces sujets sinon ça restera du charabia pour toi. Mais il ne faut pas se laisser impressionner par le vocabulaire ou le symbolisme (l'un des objectifs étant de faire le plus général possible tout en étant précis). Bon courage!

[bullquies]

préviens-nous quand tu comprends l'inter-universal teichmüller theory de mochizuki

[charlestiran]

Merci beaucoup !!!! Le cours d'Alain Prouté est exactement ce que je cherche. En plus j'etais deja tombe dessus sans faire gaffe mais j'avais ferme a cause du titre trompeur. Je sens qu'il va m'occuper un moment. C'est ce genre de maths que je trouve interessantes

teaser, page 176 il dit: une structure (du moins dans le cas où elle est définissable sur un ensemble)
est algébrique si le foncteur d’oubli de la catégorie des modèles de cette structure vers la catégorie des
ensembles est « monadique », terme qui sera expliqué dans ce chapitre. La deuxième surprise est que
la structure d’espace compact est algébrique. En effet, le « calcul » dans un espace compact consiste en
la seule opération qui associe sa limite à tout ultrafiltre. Les espaces compacts sont donc les « algèbres
sur la monade des ultrafiltres ». Dire que le foncteur d’oubli a un adjoint à gauche est dire qu’il existe
un « espace compact libre » sur chaque ensemble. Il s’agit du compactifié de Stone-Čech. De plus, la
préservation du produit par le foncteur d’oubli n’est pas sans rapport avec le théorème de Tychonoff.

Et moi qui pensait comprendre en profondeur la notion de compacite j'ai hate de comprendre tout ca.

Je pense que si on appatait, avec vulgarisation bien sur, les taupins sur ces choses la a la fin de la prepa*, beaucoup seraient attires. Au lieu de nous dire qu'un avion c'est genial ca vole grace a plein de types d'ingenieurs differents ou que l'intelligence artificielle c'est fascinant...

@Vault: merci je note ces liens au cas où
@bullquies: deja le cours de proute, apres on verra. Je sens une dose de moquerie, tu penses que ce sont des choses inutiles ?

*avec des conferences?

[LeCaRiBoU]

J'ai regarde un exemple de cours donne au MRPI mais c'est a destinations d'informaticiens theoriciens essentiellement et la rigueur mathematique n'est pas de mise a mon gout, c'est en fait pour illustrer le lambda calcul et ce n'est pas ce que je recherche.
PS: vous etudiez les categories avant le M2 dans les ENS?

On dit MPRI :p

Et oui, à Cachan et Ulm, il y a des cours de catégories en M1.

[charlestiran]

En info ou en maths? Sur les fondements ou juste sur le langage pour l'appliquer en topo algebrique?

[siro]

"Si c'est applicatif, c'est sale."