Soit $ P=a_nx^n +a_{n-1}x^{n_1}+\cdots+ a_1x+a_0 $ un polynôme admettant $ n $ racines réelles distinctes.
Montrer que s’il existe $ p $ ($ 1\le p\le n-1 $) tel que $ a_p=0 $ et $ a_i\ne0 $ pour tout $ i\ne p $, alors $ a_{p-1}a_{p+1}< 0 $.
SPOILER:
Il est classique que la dérivée d'un polynôme scindé sur R à racines simples est également scindée à racines simples : si on note $ x_1,...x_n $ les racines de P, le théorème de Rolle donne une racine de P' dans chaque intervalle $ ]x_i;x_{i+1}[,\: 1\leq i\leq n-1 $ soit n-1 racines de P' : ainsi toutes les racines de P' sont réelles et distinctes : P' est scindé à racines simples. On remarque également que les racines de P et P' sont alternées et que toute racine de P' est majorée et minorée par au moins une racine de P.
On note $ Q = P^{(p-1)} $ qui est scindé à racines simples par itération de la propriété précédente.
On remarque que $ Q(0) = a_{p-1}(p-1)! $, $ Q'(0) = a_pp! = 0 $ et $ Q''(0)= a_{p+1}(p+1)! $. Il s'agit donc de montrer que $ Q(0)Q''(0)<0 $.
Notons d'abord que ce produit n'est pas nul car puisque Q'(0)=0, 0 serait alors racine double de Q ou Q' ce qui est absurde.
Quitte à considérer l'opposé de Q on peut supposer Q(0)>0 (cela ne change pas le signe du produit). Puisqu'en 0 Q' est nul et pas Q'', on en déduit que 0 est un extremum local de Q, et un maximum si et seulement si Q''(0)<0, ce que l'on cherche à obtenir.
D'après une remarque précédente, 0 en tant que racine de Q' est entouré par des racines de Q, $ y_1 < 0 < y_2 $, telles que $ ]y_1;y_2[ $ ne comporte aucune autre racine de Q' que 0. Ainsi Q' garde un signe constant sur $ ]y_1;0[ $ donc Q garde la même monotonie sur cet intervalle. Puisque $ Q(y_1)=0<Q(0) $, Q est croissant à gauche de son extremum donc 0 est bien un maximum de Q, ce qu'il fallait démontrer
D'ailleurs il me semble qu'on a pas besoin de l'hypothèse que $ a_p $ est le seul coefficient nul. Dites-moi si je me trompe mais je ne crois pas l'avoir utilisée.
@ladmzjkf : ah oui, il est très joli celui là ! Voici une indication.
SPOILER:
Montrer que si ce nombre est rationnel, alors la suite de terme général $ \epsilon_n = \begin{cases}1 & \text{si }n\in\mathbb P\\0 &\text{sinon}\end{cases} $ est périodique à partir d'un certain rang.
gchacha a écrit :Si Césàro est trop classique voici un théorème un peu plus exotique : Soit $ P $ un polynôme de $ \mathbb{R}_n[X] $ de degré $ n\ge 1 $, ayant $ n $ racines deux à deux distinctes disposées dans l'ordre croissant (on notera $ x_1<...<x_n $) et$ P' $ son polynôme dérivé qui a $ n-1 $ racines deux à deux distinctes disposées dans l'ordre croissant (on notera $ y_1<...<y_{n-1} $). On note $ d $ la distance entre deux racines de $ P $ et $ d' $ celle entre deux racines de $ P' $. Montrer que $ d'>d $.
Voici une indic :
SPOILER:
On pourra considérer la fraction rationnelle $ \frac{P'}{P} $ et l'étudier sur un intervalle du type $ ]x_i,x_{i+1}[ $.
Soit $ \mathbb{P} $ l'ensemble des nombres premiers.
Montrer que $ \displaystyle\sum_{p\in\mathbb{P}} \,\frac{1}{2^p} $ est irrationnel.
Vraiment cool cet exo !
SPOILER:
On note $ S $ ce nombre. On le suppose rationnel par l'absurde. Dans ce cas, son développement binaire est périodique à partir d'un certain rang. Or l'écriture $ S = \displaystyle\sum_{p\in\mathbb{P}} \,\frac{1}{2^p} $ fournit immédiatement la nature de ce développement (1 si la bicimale (mot de ma composition ) est en "position première" dans le développement et 0 sinon). Comme le fait remarquer Siméon cette suite est donc périodique à partir d'un certain rang, ce qui est absurde (par exemple en notant $ p_0 $ ce rang et $ t $ la période, on a alors $ p_ 0 + tp_ 0 = p_ 0(t+1) $ premier, absurde)
2015/2016 : MPSI, Lycée Louis le Grand
2016/2017 : MP*, Lycée Louis le Grand
2017/2018 : ENS Ulm
Je suis content que ça te plaise, si je me rappelle bien, je l'avais trouvé dans un pdf de principe des tiroirs (où est le rapport ...). Si je retrouve le lien, je le mets ici.
il faut preciser le corps ou du moins la caracteristique du corps considere
sinon celui qui connait les actions de groupe est avantage
un lemme classique pour demontrer ce resultat avec K de caracterisique differente de 2:
SPOILER:
Etant donne G un sous groupe (pour la multiplication) fini de GLn(K), si H²=In pour tout element H de G, alors G est commutatif et |G| est inferieur 2^n
) est en "position première" dans le développement et 0 sinon). Comme le fait remarquer Siméon cette suite est donc périodique à partir d'un certain rang, ce qui est absurde (par exemple en notant $ p_0 $ ce rang et $ t $ la période, on a alors $ p_ 0 + tp_ 0 = p_ 0(t+1) $ premier, absurde)