Exercices de MPSI

[donnerwetter]

Oui je serais pas contre une vérification non plus (pas tant pour les calculs que pour savoir si j'ai vraiment droit ajx dérivations successives)... je réfléchis à ta méthode demain.

[ladmzjkf]

Trouver une application f (lire fonction) de $ \mathbb{N}\to\mathbb{N} $ telle que chaque entier naturel admet une infinité d'antécédents par f

Avec la définition des valeurs d'adhérence:

Trouver une suite dont l'ensemble des valeurs d'adhérence est l'ensemble $ \mathbb{N} $

@Zetary: J'ai réfléchi à la dernière question mais en vain "Trouver une suite dont l'ensemble des valeurs d'adhérence est R". je ne serais pas contre une indication

[Zetary]

Indication :

SPOILER:

Déjà trouve une suite dont la différence de deux termes consécutifs tend vers 0 et qui tend vers l'infini, puis essaye de la modifier

[Syl20]

Trouver une application f (lire fonction) de $ \mathbb{N}\to\mathbb{N} $ telle que chaque entier naturel admet une infinité d'antécédents par f

SPOILER:

Une fonction qui a un nombre associe la somme de ses chiffres ?

[ladmzjkf]

Trouver une application f (lire fonction) de $ \mathbb{N}\to\mathbb{N} $ telle que chaque entier naturel admet une infinité d'antécédents par f

SPOILER:

Une fonction qui a un nombre associe la somme de ses chiffres ?

Joli (mais essaye de la modifier pour avoir 0 qui admet aussi une infinité d'antécédents- par exemple u_2n et u_2n+1)

SPOILER:

Je pensais à l'exposant de 2 dans la décomposition en facteurs premiers de n

[X2017]

Un exo que j'ai trouvé sublime après coup car on peut utiliser une belle variante de raisonnement :

Montrer que pour tout entier n >= 2, la racine n-ième de 2 est irrationnel

[Zetary]

SPOILER:

Pour n=2 c'est un résultat classique et si n>2 alors en supposant que la racine nième de 2 est rationnelle égale à a/b, on a $ a^n=b^n+b^n $ ce qui contredit Fermat.

Oui j'aime bien les bazookas pour tuer des moustiques.

[VanXoO]

C'est ma démo préférée de ce résultat !

[MorphismeC]

Montrer que pour tout entier n >= 2, la racine n-ième de 2 est irrationnel

Euh j'ai peut être manqué une subtilité mais le raisonnement est (quasi) exactement le même que le cas "classique" n=2...

SPOILER:

Supposons que $ \sqrt[n]{2} $ soit rationnel. Alors il existe $ p, q \in \mathbb{Z} $ ($ q $ non nul) tels que $ (p,q)=1 $ et $ \sqrt[n]{2}=\frac{p}{q} $ mais alors $ 2q^n=p^n $ donc 2 divise $ p^n $ ce qui implique que $ p $ est pair. Ainsi, on peut écrire $ p=2j $ pour un certain $ j\in \mathbb{Z} $ et on obtient alors $ q^n=2^{n-1}j^n $. Cela implique que $ q $ est pair et cela contredit donc le fait que $ p $ et $ q $ soient premiers entre eux.

[apzoeiruty3]

Oui la "subtilité" était le théorème de fermat, je trouve cette démo sympa perso