ECS - Lien entre rang et trace// rang matrices semblables

[lighting]

Bonjour,
Pourriez-vous m'éclairer sur deux points ?
- Y-a-t 'il un lien entre le rang d'une matrice et sa trace ? Peut-on retrouver le rang d'une matrice en utilisant sa trace ?
- Comment montrer que deux matrices semblables ont le même rang ? Je n'ai pas réussi à trouver de vraies démonstrations sur Internet.
Merci d'avance !

[kakille]

Une matrice et toutes les matrices qui lui sont semblables ont le même rang et la même trace.

Pour la trace, cela provient de son comportement vis-à-vis du produit.

Pour le rang, cela provient du fait que le rang est inchangé si tu multiplies une matrice par une matrice inversible. Tu n'as pas cette propriété dans ton cours ?

Voilà ce que l'on peut retenir dans le cas général en ECS. Le reste, c'est à examiner au cas par cas.

Exemple de cas particulier : si tu as une matrice semblable à la matrice diagonale diag(1,1,...,1,0,0,...,0), alors son rang est égal à sa trace, soit le nombre de 1.

[X2017]

Il me semble que l'ensemble des (tr(m^k)) engendrent les invariants de similitudes donc oui tu peux retrouver le rang à partir de la trace normalement, cependant je suis vraiment pas sur que c'est juste (donc si quelqu'un pourrait confirmer)

[Vault]

Si j'ai bien compris ton message, ce n'est pas tout à fait ça. Plus précisément, on a: l'algèbre des fonctions polynomiales sur Mn_(C) invariantes sous l'action par conjugaison de GL_n(C) est engendrée par les n fonctions polynomiales M |-> tr(M^k) pour k€[[1,n]]

En particulier, ce qu'on appelle classiquement les invariants de similitude (ou encore les facteurs invariants), à savoir les polynômes qui apparaissent dans la décomposition de Frobenius, tombent sous le coup de ce résultat.
Mais pas le rang! [le rang ne peut pas être polynomial, par exemple parce que sinon il serait continu, or il prend ses valeurs dans un espace discret (ici un sous-ensemble de N) et il existe des matrices qui n'ont pas le même rang...). Par contre, le rang peut être détecté par des méthodes polynomiales, comme l'algorithme du pivot ou bien l'extraction de mineurs.

Pour finir sur le lien entre trace et rang, une petite chose sympa: Soit f une forme linéaire sur M_n(C) qui à toute projection associe son rang. Que dire de f ?
(Ou, version endo: Soit f une forme linéaire sur L(E) (avec E un C-ev de dim finie) qui à tout projecteur associe son rang. Que dire de f?)

PS:En ce qui concerne le résultat cité au début: est-ce que quelqu'un sait si on a une méthode algorithmique particulière dans ce contexte pour obtenir l'expression d'un polynôme dans cette base? (on peut toujours faire un pivot...)
Pour le cas très particulier du polynôme caractéristique, on a quelques algorithmes, qui reposent (par exemple) sur les formules de Newton pour obtenir cette décomposition, mais je crois qu'ils ne sont pas plus efficaces que le pivot.