Exos sympas MP(*)

[Arkansas]

Voici un exo sympa qui demande de réfléchir un peu.

Soit A et B deux matrices de Mn(R) diagonalisables.
On suppose l'existence d'un polynôme P dans R[X] vérifiant
(i) P(A) = P(B)
(ii) deg P >= 1
(iii) Pour tout X dans R, la dérivé de P est positive. P'(X) >= 0

Montrer que A = B

[gchacha]

Soit $ z=x+iy $, $ x,y \in \mathbb{R} $, on pose $ g(z)=x^2 + i y^3 $. Prouver que $ g $ est $ \mathbb{R}- $différentiable sur $ \mathbb{C} $ et déterminer sa différentielle.

[artslidd]

comment démontre-t-on $ 1+2+3+...+n $ divise $ 1+2^k+3^k+...+n^k k $ impair ?

voici un document pdf montrant effectivement ces liens : https://arxiv.org/pdf/math/9207222v1.pdf , mais de mon côté je n'ai pas de résultats après deux vaines tentatives

[Siméon]

comment démontre-t-on $ 1+2+3+...+n $ divise $ 1+2^k+3^k+...+n^k k $ impair ?

voici un document pdf montrant effectivement ces liens : https://arxiv.org/pdf/math/9207222v1.pdf , mais de mon côté je n'ai pas de résultats après deux vaines tentatives

Solution.

SPOILER:

Il suffit de montrer que $ 2\times \left(1^k+2^k+\cdots + n^k\right) $ est congru à 0 modulo $ n $ et modulo $ n+1 $.

[artslidd]

C'est effectivement ce que j'ai tenté de faire, mais je bloque

[Siméon]

Te rappelles-tu l'astuce de Gauss pour calculer $ 1 + 2+ \dots + 100 $ quand il était enfant ?

SPOILER:

Si $ k $ est impair et $ m $ est un entier, que vaut $ (n-m)^k + m^k $ modulo $ n $ ?

[artslidd]

Bien sûr, j'ai tenté de l'appliquer mais cela n'avait pas l'air d'aboutir. Cela dit je vais réessayer

[artslidd]

Ca y'est j'ai pigé merci beaucoup

[Leo11]

Allez, vu que j'aime bien ce forum et que ca me deprime de le voir battre de l'aile ainsi, je tente de remettre les machines en route.

Un exo de probas:

Soit n un entier naturel non nul et E=[|1,4n|]. On divise E en deux ensembles E_1 et E_2 de cardinaux égaux (donc égaux chacun à 2n). On suppose ces deux ensembles rangés par ordre croissant, et on note E_3 la réunion des n premiers éléments de E_1 et des n premiers éléments de E_2. Calculer pour x appartenant à E la probabilité que x appartienne à E_3 et qu'il y soit en x-ième position.

[Leo11]

Et un autre sympa que j'aime bien mais qui n'a aucun rapport:

Soit A une partie convexe de IR^n. On suppose A dense dans IR^n. Montrer que A=IR^n.