Nombres d'éléments matrice

[Prue]

Bonsoir,

Soit une matrice carrée n*n
Combien d'éléments y-a-t-il sous ou sur la diagonale sans compter celle-ci?

[U46406]

- faire un crobard 2 x 2,
un 3 x 3

- puis raisonner par récurrence ?

[Prue]

D'après ma prof c'est 2 parmi n mais je vois pas pourquoi hormis sur des matrices petites

[U46406]

Moi non plus, je saurais pas trop répondre... Espérons que d'autres vont savoir.

2 x 2

a b
c d

3 x 3
a b c
d e f
g h i


le cas n x n
explorer le cas suivant, avec n + 1
(tu en rajoutes combien d'éléments ?)

[U46406]

Tu peux reprendre tout l'énoncé ??? j'ai l'impression de pas comprendre... C'est quoi un élément ? C'est un Mi,j ?
et avec un schéma, ça serait plus simple ?

- n1 : nombre d'éléments au total dans toute la matrice ?
- n2 : nombre d'éléments dans la diagonale ?

- n1 - n2 : nombre d'éléments au total hors de la diagonale ?

- diviser par 2...

[U46406]

Personne, ils ont tous disparu, les contributeurs d'ici ???
(ils sont même pas sur https://www.taupinieres.fr ???)

Je te confirme que ta prof a raison.

Pour m'en apercevoir, j'ai fait un détour - donc en me perdant en route - par le fameux Triangle de Pascal.
https://fr.wikipedia.org/wiki/Triangle_de_Pascal

et de là, par la combinatoire :
https://fr.wikipedia.org/wiki/Coefficient_binomial

C'est bien le "2 parmi n" la solution, mais je l'aurais exprimé plus facilement sans me rendre compte qu'il s'agit du "2 parmi n" (j'ai pas un cerveau à la Ramanujan... ).

C'est tout bête, un simple schéma te permettra de t'en rendre compte assez rapidement, sans avoir à t'égarer dans de longues réflexions.

[jandri]

Les éléments de la matrice M qui sont au dessus de la diagonale sont les M_{i,j} avec i<j.

Il y a 2 parmi n couples (i,j) tels que i<j car pour former un tel couple on choisit 2 entiers parmi n.

[darklol]

Moi j'ai trouvé ça très convaincant.

[JeanN]

[quote="JustSayin'"]Pas très convaincant jandri.

Je vois plus ça comme : n(n-1)/2 = 2 parmi n = 1+2+...+n-1 (il y a n-1 sur diagonales qui ont 1, puis 2 puis 3... puis n-2 puis n-1 éléments).[/quote]

Qu'est-ce qui te gêne dans l'explication précédente ?
La tienne est très claire par ailleurs...

[Vault]

Ou sinon...Soit M une matrice carrée de taille n. Soit k le nombre d'éléments sous la diagonale principale(sans la compter). Par symétrie[on peut le prouver rigoureusement si on le désire), c'est aussi le nombre d'éléments au-dessus (sans la compter). Alors on a 2*k+n=n² (sous la diagonale + au-dessus + la diagonale donne tout le monde) et on peut conclure assez facilement pour avoir le nombre total d'éléments sous la diagonale (sans la compter), au-dessus (sans la compter) et aussi le nombre d'éléments sous la diagonale (incluse) et au-dessus (incluse).

Applications: Calculer la dimension du sous-espace des matrices symétriques, celle du sous-espace des matrices antisymétriques, des matrices triangulaires supérieures, inférieures, strictes ou non...