théorème de green Ostrogradski

[asphi]

Bonjour,
En physique j'utilise la formule de green Ostrogradski dans le cadre d'un chapitre sur l’électromagnétisme ,mais je n'arrive pas à comprendre ce que ça représente exactement physiquement si quelqu'un pourrait m'éclairer , je ne comprends pas pourquoi on fait le lien entre la divergence et le flux , en quoi la divergence aurait une influence sur le flux , je voudrais une explication physique de la formule avec un exemple concret si possible ,ça m'aiderait énormément.
Je vous remercie d'avance.

[RC_]

Image une pièce rempli de gens cote a cote. Si une personne écarte les bras, alors localement elle a une divergence positive. Au contraire si une personne ressert les bras, elle a une divergence négative. Si tu fais la somme algébrique de toutes ces divergences (locale), tu obtient un résultat qui est positif si il y a plus de personne écartant les bras que de personne les resserrant. Ainsi, des personnes auront tendance a sortir de la pièce, ce qui se traduit par un flux positif (et inversement).

[Glatado]

L'analogie est pas ouf parce que les gens peuvent tous lever les bras en meme temps sans que personne ne sorte de la pièce, ce qui contredirait le théorème d'Ostrogradski

En fait si tu comptais le flux de personnes et que t'avais un vecteur flux de particule d'atomes d'humains, quand quelqu'un bouge les bras ça alimente localement certaines cellules de l'espace (là où ses bras vont) et ça puise des particules humaines localement ailleurs (là où le bras s'en va)

Ici du coup tant que personne ne sort de la pièce, les gens ont beau s'agiter l'integrale volumique de "div(j)*dV " sera nulle, ce qui correspond bien a un flux humain nul sur la surface déterminé par la pièce ! (En fait ce qu'a dit RC est carrément faux je pense)

Et si quelqu'un sort l'effet de compensation disparaît, et on aura on flux et une intégrale volumique strictement positive.

Edit: quand je dis "qqn sort" pour moi ça veut dire que son corps est en mouvement dans l'embrasure de la porte, pas qu'il bouge à l'intérieur de la pièce en faisant mine de se diriger vers l'exterieur.

[RC_]

[quote="Glatado"]L'analogie est pas ouf parce que les gens peuvent tous lever les bras en meme temps sans que personne ne sorte de la pièce, ce qui contredirait le théorème d'Ostrogradski
[/quote]

J'ai dit écarter les bras, pas lever...

[Isacu]

Une des manières de comprendre green Ostrogradski est souvent de voir ce que donne les expressions pour un petit cube, puis de voir ce qui se passe quand on colle deux cubes côte à côte (sur la surface en commun, les deux intégrales surfaciques se compensent) puis d'admettre que dans le cas général, on peut découper tout les volumes en plein de petit cubes et que ça marche bien (qui est le truc méga chiant à faire pour un matheux mais qui pour l'étudiant est pas trop dur à avaler).

EDIT: Et par contre le sens physique de la divergence en fait il n'existe pas en dehors de ce théorème, c'est juste l'opérateur qui permet de passer d'une intégrale surfacique de fluc, à une intégrable volumique (et toutes les vulgarisations sur cet opérateur se ramènent toutes à ça).

[RC_]

[quote="Isacu"]
EDIT: Et par contre le sens physique de la divergence en fait il n'existe pas en dehors de ce théorème, c'est juste l'opérateur qui permet de passer d'une intégrale surfacique de fluc, à une intégrable volumique (et toutes les vulgarisations sur cet opérateur se ramènent toutes à ça).[/quote]

Ah bon.

[Néodyme]

[quote="Isacu"]
EDIT: Et par contre le sens physique de la divergence en fait il n'existe pas en dehors de ce théorème, c'est juste l'opérateur qui permet de passer d'une intégrale surfacique de fluc, à une intégrable volumique (et toutes les vulgarisations sur cet opérateur se ramènent toutes à ça).[/quote]
C'est le cas pour les interprétations en électromagnétisme, où c'est dans un cadre eulérien.
En mécanique des fluides, avec le point de vue lagrangien, on peut interpréter la divergence d'une autre façon : div v donne le taux de contraction/d'expansion du volume de la particule de fluide que l'on suit. (mais c'est une remarque HS pour la présente discussion)

Sinon l'image donnée par RC est pas mal. Le souci c'est que les différentes personnes dans la pièce ne peuvent qu'avoir une divergence nulle (bras baissés) ou positive (bras levés), mais jamais négative. Or div E < 0 est tout à fait possible et peut compenser les zones où div E > 0.

[RC_]

Forcement à l'écrit c'est bof, mais quand je le mime en colle, les élèves comprennent très bien (et moi j'ai l'air un peu con xD).
Imaginer une position au repos intermédiaire (dites a divergence nulle), et à partir de la on peut très bien écarter les bras (et avoir tendance a pousser ses voisins directs - et donc avoir localement une divergence positive) ou bien rapprocher les bras du corps (et donc avoir tendance à attirer ses voisins - soit une divergence négative).

[fakbill]

Bah comme toutes les images mentales / analogies, ça a ses limites. Ce n'est pas une raison pour dire que ça n'a pas de sens et que c'est juste une formule.
Moi je vois une charge plus ou moins ponctuelle avec des lignes de champs qui vont / qui en partent selon son signe. Je vois aussi un petit volume autour de cette charge.
De plus, j'aime bien la phrase de wikipedia :
"Selon son signe, la divergence exprime la dispersion ou la concentration d’une grandeur (telle une masse par exemple) et le théorème précédent indique qu’une dispersion au sein d’un volume s’accompagne nécessairement d’un flux total équivalent sortant de sa frontière."

ou, dit légèrement autrement :
"The divergence theorem is employed in any conservation law which states that the volume total of all sinks and sources, that is the volume integral of the divergence, is equal to the net flow across the volume's boundary."

Bref, faites vous des images mentales.

[bullquies]

yep

dans le même genre, je m'imagine un balon de baudruche dans un évier plein d'eau qu'on gonflerait. On fait déborder, et en plus on sait combien d'eau va sortir