Contre-exemple théorème de permutation série/intégrale

[Tarnation]

Bonjour !

Je recherche un contre-exemple : je souhaite trouver une suite de fonction de la forme $$ f(k+x) $$ où $ k $ est entier, $ x $ réel, $ f $ intégrable sur $ \mathbb{R} $, et telle qu'on ne puisse pas permuter série et intégrale sur un compact. Quelqu'un a une idée ?

Ou sinon une suite de fonctions intégrables pour laquelle les théorèmes de permutation série/intégrale ne s'appliquent pas, ce serait déjà génial.

Merci d'avance !!

[Prue]

Le théorème s'applique toujours avec des fonctions de cette forme là sauf si f est l'identité.

[Koppnayw]

C'est pas vraiment ce que tu cherches mais on a sur $ \mathbb{R}_{+} $
$ \int_0^{ + \infty} {\sum_{n = 1}^{ + \infty} {\frac{n^2 - x^2}{(n^2 + x^2)^2}} d x}=\frac{\pi}{2} $
alors que
$ \sum_{n = 1}^{ + \infty} {\int_0^{ + \infty} {\frac{n^2 - x^2}{(n^2 + x^2)^2} d x}}=0 $.
C'est un bon exercice pour le vérifier. Ça doit s'adapter sur un compact $ [0,A] $ en prenant $ A $ très grand.