Message
par Karev » 13 juin 2017 13:10
Bon tu es d'accord que vouloir dériver ta relation par rapport à $ y $, revient à considérer $ x $ comme étant une constante?
Si tu as des soucis avec ça, comme je vois que tu ne comprends absolument pas la notion de dérivation dans ton dernier message, tu devrais adopter (dans un premier temps) la notation physicienne $ \frac {d}{dx} $ pour la dérivée par rapport à $ x $.
On dérive toujours une fonction PAR RAPPORT à quelque chose, ici écrire "Si $ f(Z)= f(x)+f(y) $ alors $ f'(Z)=f'(x)+f'(y) $" est complétement faux car déjà tu ne précises pas par rapport à quelle variable tu as dérivé et d'autre part on ne peut jamais obtenir ton expression. En effet:
- Si on dérive $ f(Z)= f(x)+f(y) $ par rapport à $ Z $ alors $ x $ et $ y $ sont constantes (tu peux les remplacer par 1 si tu veux ou n'importe quel scalaire mentalement) c'est comme si tu dérives par rapport à $ Z $: $ f(Z)=f(1)+f(2) $ comme $ f(1) $ et $ f(2) $ sont constantes leurs dérivées par rapport à $ Z $ sont nulles, d'où la relation: $ \dfrac {d}{dZ} f(Z) =0 $. (Ou si tu mentionnes clairement (et que tu as compris) qu'on effectue la dérivation par rapport à $ Z $, alors tu peux écrire $ f'(Z)=0 $).
- Si on dérive $ f(Z)= f(x)+f(y) $ par rapport à $ x $ alors $ Z $ et $ y $ sont constantes, donc $ 0 = \dfrac{d}{dx}f(x) $ (ou si tu le mentionnes clairement que l'on dérive par rapport à $ x $, on peut adopter la notation: $ f'(x)=0 $).
- Si on dérive $ f(Z)= f(x)+f(y) $ par rapport à $ y $ alors $ Z $ et $ x $ sont constantes, d'où $ \dfrac {d}{dy} f(y) =0 $ (Ou encore si tu l'as compris et que tu mentionnes bien qu'on dérive par rapport à $ y $: $ f'(y)=0 $)
Quelques remarques: - Tout ce que l'on vient de dire ci-dessus manque évidement de rigueur, il faut bien évidemment supposer que nos fonctions sont dérivables et préciser leurs intervalles de dérivabilité, sans quoi tout ce qui précède peut être faux.
- Si tu ne comprends pas pourquoi on dérive PAR RAPPORT à quelque chose, reprend la définition de la dérivée d'une fonction (niveau terminale-première).
Pour en revenir à ton message initial:
Si tu te demandes encore pourquoi on obtient: $ xf′(xy)=f′(y) $ en dérivant par rapport à $ y $ la relation: $ f(xy)=f(x)+f(y) $, demande toi ce que donnerait la dérivation par rapport à $ y $ de l'expression: $ f(5y)=f(5)+f(y) $.
ENS Rennes
