Espaces Quotient

[Yipee]

Tout cela pour dire que la notion de quotient est absolument FONDAMENTALE. Je trouve que c'est vraiment dommage que cela soit enlevé des programmes de prépas

[Bidoof]

Pour l'exemple de $ \mathbb{Z} $ à partir $ (\mathbb{N},+) $ donné par Darklol, on peut généraliser, on peut transformer un magma associatif commutatif régulier d'un côté en groupe en quotientant le produit cartésien par une relation (a,b)R(a',b') ssi ab'=ba'.

[ChakirRisitas]

Re-Bonjour tout le monde , suite à un problème d'ordinateurs je ne peux répondre que maintenant , tant mieux une fois que de si belles réponses me furent destinées haha .
Vos explications m'ont très bien éclairci le truc et surtout un grand merci à Darklol.
Concernant l'exercice donné par Karev , j'ai pensé à une p'tite méthode prendre l'application linéaire de Keru^k+1 vers E qui à chaque x lui associe u^k(x) son noyau est bien évidemment Keru^k or par passage au quotient Keru^k+1/keru^k isom à imu^k et par passage à la dimension et en exploitant le fait que la suite des images itérées est décroissante au sens de l'inclusion on conclut directement que notre suite est décroissante ! Merci et en attente d'une réponse

[Karev]

Oui je crois que ta solution est juste. Toutefois il faudrait quand même un peu plus détailler le "passage au quotient" (le justifier en vérifiant les hypothèses) car derrière se cache le 1er théorème d'isomorphisme version espace-vectoriel (ou son corollaire le théorème du rang).
Mais sinon oui aucun problème.

Cependant ça manque quand même de rédaction: Car le noyau de ton application n'est autre que $ \ker(u^{k+1}) \cap \ker(u^k) $. Et effectivement il s'agit au final de $ \ker(u^k) $ car on a $ \ker(u^k) \subset \ker(u^{k+1}) $ (la suite des noyaux itérés est croissante).

[ChakirRisitas]

Mercii Karev pour tes conseils et pour cette application qui m'a un peu aidé à utiliser la notion