Les représentations mentales ?

[Zetary]

Je n'ai pas tout en tête.
Sinon pour moi la memoire passe d'abord par la compréhension et à défaut la pratique des exercices

[TriJay]

Une autre representation mentale :
Preuve des n premier entiers, tu peux
soit retrouver la preuve de maniere mecanique : 1+n...+1+n

Soit de maniere geometrique : tu prends des grains de sable posés en equilibre sur eux mm et dans un rectangle en verre de dimension 3*6 ...
De ce rectangle tu peux aussi formé un triangle en verre de coté 6 . En calculant , tu trouves que l'aire du rectangle = l'air du triangle. Mais si tu additiones le nombre de grain dans le triangle et dans le rectangle , tu trouves 2 nombres differents.

Pourquoi ? Parce que dans la formule de l'aire d'un rectangle , tu as un des cotés [de dimemsion 3*1] rempli par du verre... En remplaçant ce verre par des grains de sable et en les ajoutant au total, tu retrouves le meme nombre de grains dans le triangle et le rectamgle

[Genius_]

What is mathematics est traduit en français depuis peu (chez cassini, il se trouve que je connais la traductrice et elle a fait du bon boulot)

Sinon en vrac de mon expérience perso :

- Les ensembles c'est des boites, leurs éléments sont des ensembles donc d'autres boites
- Les ensembles ordonnés sont des graphes orientés (pas obligé de mettre toute les fleches, on prend implicitement la cloture transitive de la représentation)
- La logique roule souvent mieux avec des mots que des images, peu importe le sens (ne pas hesiter à abuser de trucs, schtroumpfs et autres gens)
- Bien visualiser les graphes de fonctions réelles est toujours utile
- Si un groupe peut se voir comme groupe de symétries c'est toujours avantageux
- La combinatoire c'est compter des roses et des tulipes, des lapins et des chevreuils... ^^
- La droite réelle, le plan complexe, le cercle trigo évidemment
- Pour R^n y'a pas d'astuce, faut prendre n<4 que je sache
- Enfin pour voir vraiment ce que fait un endomorphisme réel (complexe c'est moins visible) y'a le théorème spectral (au programme en spé) et la decomposition polaire (exo classique en spé): la conjonction de ces deux résultats te dit qu'une matrice réelle ça prend une certaine base orthonormée, ca lui applique une certaine rotation puis ça effectue une dilatation d'un certain facteur selon chaque coordonnée de la base toujours orthonormée et c'est tout !

Ok merci pour ces exemples !

Une autre representation mentale :
Preuve des n premier entiers, tu peux
soit retrouver la preuve de maniere mecanique : 1+n...+1+n

Soit de maniere geometrique : tu prends des grains de sable posés en equilibre sur eux mm et dans un rectangle en verre de dimension 3*6 ...
De ce rectangle tu peux aussi formé un triangle en verre de coté 6 . En calculant , tu trouves que l'aire du rectangle = l'air du triangle. Mais si tu additiones le nombre de grain dans le triangle et dans le rectangle , tu trouves 2 nombres differents.

Pourquoi ? Parce que dans la formule de l'aire d'un rectangle , tu as un des cotés [de dimemsion 3*1] rempli par du verre... En remplaçant ce verre par des grains de sable et en les ajoutant au total, tu retrouves le meme nombre de grains dans le triangle et le rectamgle

Je vois pas trop de quelle démonstration tu parle mais jessairaie d'y penser quand je la verrais

[TriJay]

La preuve de La somme des premiers entiers naturels

[Zak_]

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|_| |_| |_|
|_| |_| |_| |_| ...
1+2+3+4 ...

*2 :
...+4+3+2+1
...|_| |_| |_| |_|
...|_| |_| |_|
...|_| |_| ___|_|
...|_| ____|_| |_|
_____ |_| |_| |_| (j'ai mis des _ ça voulais pas mettre
___|_| |_| |_| |_| ... d'espaces là)
____1+2+3+4+...
=
.
.
.
|_| |_| |_| |_|
|_| |_| |_| |_| n+1
|_| |_| |_| |_|
|_| |_| |_| |_|
|_| |_| |_| |_| ...
n
Ça fait un rectangle d'aire n*(n+1)

[TriJay]

*2 ? Comme la preuve avec les 2S ?

[Zak_]

Ouais c'est exactement le même principe sauf que là on remplaces les nombres par des carrés

[Nicolas G]

En règle générale, l'esprit se représente bien la géométrie en 1,2 ou 3 dimensions puisque c'est la perception quotidienne du monde qui nous entoure. Du coup il faut essayer de rapprocher les notions mathématiques à une représentation géométrique. On peut faire bouger nos représentations temporellement aussi.
Et on part toujours de notions relativement simples, en tout cas dont on a une bonne intuition, et on construit avec des notions plus compliquées, du coup on adapte nos représentations. Mais si on ne comprend pas une notion n, qu'on a du mal à la représenter, alors on ne pourra pas se représenter la notion n+1 qui en découle.
Et pour moi c'est la même chose en physique (la mécanique quantique est un cas particulier...), il y a un aspect de visualisation.
C'est très personnel, je le vois comme ça, en prépa ça m'a permis de bien comprendre certaines notions, mais en grande partie je mets beaucoup de temps à comprendre certaines choses, jusqu'à avoir la bonne représentation.
Après chacun sa méthode, entre Einstein, Ramanujan et Grothendieck je ne crois pas qu'ils avaient les mêmes représentations, les mêmes manières de penser. Rien que Ramanujan voyait quasiment tout en fractions continues, c'est pas souvent le cas.
Dans tous les cas il faut de la pratique et de la curiosité, comme Einstein qui s'imagine chevaucher un rayon de lumière et se regarder dans un miroir et qui en comprend la relativité restreinte, ou qui voit le principe d'équivalence dans un ouvrier tombant d'un chantier.
Roger Penrose a pas mal écrit sur le sujet mais je n'en ai rien lu.

[Genius_]

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1+2+3+4 ...

*2 :
...+4+3+2+1
...|_| |_| |_| |_|
...|_| |_| |_|
...|_| |_| ___|_|
...|_| ____|_| |_|
_____ |_| |_| |_| (j'ai mis des _ ça voulais pas mettre
___|_| |_| |_| |_| ... d'espaces là)
____1+2+3+4+...
=
.
.
.
|_| |_| |_| |_|
|_| |_| |_| |_| n+1
|_| |_| |_| |_|
|_| |_| |_| |_|
|_| |_| |_| |_| ...
n
Ça fait un rectangle d'aire n*(n+1)

Ah ouai c'est intéressant comme preuve !

En règle générale, l'esprit se représente bien la géométrie en 1,2 ou 3 dimensions puisque c'est la perception quotidienne du monde qui nous entoure. Du coup il faut essayer de rapprocher les notions mathématiques à une représentation géométrique. On peut faire bouger nos représentations temporellement aussi.
Et on part toujours de notions relativement simples, en tout cas dont on a une bonne intuition, et on construit avec des notions plus compliquées, du coup on adapte nos représentations. Mais si on ne comprend pas une notion n, qu'on a du mal à la représenter, alors on ne pourra pas se représenter la notion n+1 qui en découle.
Et pour moi c'est la même chose en physique (la mécanique quantique est un cas particulier...), il y a un aspect de visualisation.
C'est très personnel, je le vois comme ça, en prépa ça m'a permis de bien comprendre certaines notions, mais en grande partie je mets beaucoup de temps à comprendre certaines choses, jusqu'à avoir la bonne représentation.
Après chacun sa méthode, entre Einstein, Ramanujan et Grothendieck je ne crois pas qu'ils avaient les mêmes représentations, les mêmes manières de penser. Rien que Ramanujan voyait quasiment tout en fractions continues, c'est pas souvent le cas.
Dans tous les cas il faut de la pratique et de la curiosité, comme Einstein qui s'imagine chevaucher un rayon de lumière et se regarder dans un miroir et qui en comprend la relativité restreinte, ou qui voit le principe d'équivalence dans un ouvrier tombant d'un chantier.
Roger Penrose a pas mal écrit sur le sujet mais je n'en ai rien lu.

Ok je vais tenter de trouver des ouvrages de Penrose

[TriJay]

Aussi, n'oublies pas qu'il y a pleins de resultats connus que tu peux démontrer de maniere non-mechanique.

Exemple : Prouver qu'en geometrie euclidienne , la somme des angles d'un triangles est egale à 180°