Décomposition de Dunford

[ChakirRisitas]

Bonjour tout le monde .
Ayant étudié la décomposition de Dunford je me demandais à quoi cette décomposition pourrait bien servir dans la pratique et ses applications .
Si vous aviez certains exo à me filer , exemples ou des applications de cette décomposition prière de les partager ici et merci !!

[LeCanard]

La décomposition de Dunford est très utile pour calculer l'exponentielle d'un endomorphisme $ u $. En effet puisque les deux endomorphismes $ d $ et $ n $ (le diagonalisable et le nilpotent) commutent, $ \exp(u) = \exp(d+n) = \exp(d)\exp(n) $
L'exponentielle de d est simple a calculer puisque d est diagonalisable, et l'exponentielle de n est aussi simple a calculer car n est nilpotent, et donc tout les termes "d'ordre supérieurs" dans l'exponentielle disparaissent.

[bullquies]

Pour pousser la logique un peu plus loin, ces mêmes exponentielles sont utiles à la résolution d'équations différentielles.

Les puissances de matrices sont plus faciles à calculer comme l'explique LeCanard, donc tout ce qui est diagonalisation et calcul de valeurs propres devient plus simple. En conséquence, les techniques de calcul numérique bénéficient de tout ça

[ChakirRisitas]

Mercii
Et en algèbre , en quoi cette décomposition pourrait bien être utile !

[Zetary]

Si tu vois ce que c'est qu'un produit tensoriel, prends A et B deux matrices carrées de taille n et montre que si A tenseur B est non nul et diagonalisable alors A et B le sont

[Kallio]

Ce n'est pas plutôt la réciproque qui est vraie ? (i.e si A et B sont diagonalisables alors A tenseur B est diagonalisable) Ou alors serait-ce une équivalence ?

[Zetary]

C'est un equivalence sauf dans le cas ou A ou B est nulle et l'autre peut valoir n'importe quoi (exo tombé à Lyon cette année, j'en sais quelque chose ^^')

[Kallio]

Ah d'accord, je ne savais pas