2017-2018 Champollion

[Iko]

Une matrice de Mn(K) est trigonalisable ssi son polynôme caractéristique est scindé sur K.

De là toute matrice est trigonalisable dans Mn(C) mais pas dans R, tout simplement car tout polynôme est scindé dans C donc en particulier le polynôme caractéristique de toute matrice.
En principe si on trigonalise c'est qu'on peut pas diagonaliser dans l'espace en question. Mais dans certains cas on peut trigonaliser dans R et diagonaliser dans C: c'est le cas si les sep sont de dimensions supérieures dans C (et égale a n) par exemple.

Bon si tu connais pas les notions de polynôme caractéristiques, de sous espaces propres (ainsi que la condition sur les sep pour diagonaliser) alors mon message ne t'éclairera pas

[Samuel.A]

D'accord ^^ Et ben du coup je vais pas essayer De comprendre tant pis, si il faut que je me tape une théorie que je ne connais pas tout seul non merci x)
Vous avez d'autres exemples de familles d'objets denses dans un espace ? Je trouve ça pas mal ce genre de truc ^^
Merci pour votre aide !

[saysws]

Une matrice de Mn(K) est trigonalisable ssi son polynôme caractéristique est scindé sur K.

De là toute matrice est trigonalisable dans Mn(C) mais pas dans R, tout simplement car tout polynôme est scindé dans C donc en particulier le polynôme caractéristique de toute matrice.
En principe si on trigonalise c'est qu'on peut pas diagonaliser dans l'espace en question. Mais dans certains cas on peut trigonaliser dans R et diagonaliser dans C: c'est le cas si les sep sont de dimensions supérieures dans C (et égale a n) par exemple.

Bon si tu connais pas les notions de polynôme caractéristiques, de sous espaces propres (ainsi que la condition sur les sep pour diagonaliser) alors mon message ne t'éclairera pas

Le mien l'éclaire peut être un peu plus

[saysws]

D'accord ^^ Et ben du coup je vais pas essayer De comprendre tant pis, si il faut que je me tape une théorie que je ne connais pas tout seul non merci x)
Vous avez d'autres exemples de familles d'objets denses dans un espace ? Je trouve ça pas mal ce genre de truc ^^
Merci pour votre aide !

Oula il y en a pleins !
Q et D dans R, mais tu dois déjà le savoir.
Comme ca je dirais l'ensemble des fonctions polynomiales sur [a,b] dans C([a,b],R) (d'après Stone-Wiestrass)
Si j'ai d'autres idées j'éditerais.

[Iko]

Bof le cours sur la réduction est le -ou l'un des- cours le plus abordable de spé je trouve. Tu peux facilement te procurer un poly de prépa sur Internet a mon avis et regarder tout seul si ça t'intéresse vraiment :p

[saysws]

Bof le cours sur la réduction est le -ou l'un des- cours le plus abordable de spé je trouve. Tu peux facilement te procurer un poly de prépa sur Internet a mon avis et regarder tout seul si ça t'intéresse vraiment :p

Je confirme

[Ewind]

A vérifier mais je suis quasi sur que les fonctions polynomiales sont denses dans l'espace des fonctions continues

[LeCanard]

Oui la réduction est assez abordable mais c'est peut être mieux d'attendre de traiter ça en spé "correctement".

Sinon des exemples de familles denses: Les polynômes parmis les fonctions continues de [a,b], les polynomes à n variables parmis les fonctions continues à n variables sur un compact (un ensemble fermé et borné, sans "points de fuite"), les polynômes trigonométriques parmi les fonctions continues et 2π-périodiques, Les matrices inversibles parmis les matrices, Les rationnels parmis les réels, les matrices diagonalisable parmis les matrices complexes... En spé tu verras une bonne floppée d'éxemple comme ça

[Iko]

Oui la réduction est assez abordable mais c'est peut être mieux d'attendre de traiter ça en spé "correctement".

Oui et puis surtout quand tu fais ça entre un chapitre sur les probas et un chapitre sur les séries c'est une vraie bouffée d'air frais

[LeCanard]

A vérifier mais je suis quasi sur que les fonctions polynomiales sont denses dans l'espace des fonctions continues

C'est uniquement le cas sur des ensemble compacts en fait (Stone-Weierstrass), on a vu en TD qu'une fonction limite uniforme de polynômes sur R entier était nécessairement polynomiale.