Une limite singulière.

[m3hdi]

Bonsoir. Je bloque actuellement sur une limite qui est la suivante.
Etant donné un polynome P(x) de degré n (n un netier naturel), calculer $ \lim \frac{E(P(x))}{P(E(x))}
$, lorsque x tend vers +$ \infty $.
J'ai essayé une approche en divisant par P(x), et cela pour tenter d'exploiter le fait que la limite à l'infini de E(P(x))/P(x) = 1. Mais je retombe toujours sur une forme indeterminée.
Avez vous une approche différente ou semblable à celle ci qui pourrait m'aider à calculer cette limite?
Merci à vous!

[Isacu]

Alors je sais pas trop ce que tu as vu en cours mais personnellement j'aurais tendance à majorer l'erreur que tu fais entre P(x) et P(E(x)) via l'inégalité de Taylor-Lagrange et comme celle ci fait intervenir P' qui est de degré plus petit que P, cette erreur va devenir petite devant P(x) donnant le résultat voulu.

[jmctiti]

Bonjour

Tu peux mettre en facteur le terme le plus important au numérateur et au dénominateur.

[zygomatique]

salut

d'après le TAF il existe un réel y de l'intervalle [E(x), x] tel que $ P(x) - P(E(x)) = P'(y)(x - E(x)) \iff |P(x) - P(E(x))| \le |P'(y)| \le M = Max \{P'(t) \
/ \ t \in [E(x), x] \} $

donc $ |E(P(x)) - P(E(x))| \le |E(P(x)) - P(x)| + |P(x) - P(E(x))| \le 1 + |P(x) - P(E(x))| \le 1 + M $

il suffit alors de diviser par P(E(x)) ...