Axiomes théorie des ensembles

[mrordinal]

Salut

Je sais que ça n'est pas au programme de MPSI mais on a rapidement vu en hors programme ces trucs et certaines choses m'intriguent.
Le cours de maths de prépa repose sur 8 axiomes :
1) axiome d'extensionnalité : deux ensembles sont égaux si et seulement si ils ont mêmes éléments. Si je ne me trompe pas, formellement ça veut dire que : $ \forall X,\forall Y, (X=Y)\iff (X\subset Y\wedge Y\subset X) $
2) axiome de la paire qui dit si je ne me trompe pas : $ \forall X,\forall Y, \exists P, (\forall z, (z\in P)\iff (z=X\vee z=Y)) $
3) axiome de la réunion : le cours dit juste que ça donne la possibilité de construire des unions des éléments d’un ensemble (ces éléments étant eux-même des ensembles)
4) axiome des parties qui dit formellement si je ne me trompe pas : \$ \forall X, \exists P, (\forall z, (z\in P)\iff (z\subset X)) $
5) schéma d’axiome de compréhension qui dit si je ne me trompe pas : $ \forall X, \forall P $ propriété, $ \exists A, (\forall z, (z\in A)\iff (z\in X\wedge P(x))) $
6) axiome de l'infini qui donne l'existence d'un ensemble infini qui dit : $ \exists N, \emptyset\in N\wedge (\forall x, (x\in N)\iff (x\cup\{x\}\in N)) $
7) axiome de fondation qui dit : $ \forall X, X\notin X $
8.) axiome du choix : pour tout ensemble I et toute famille d'ensembles $ (E_i)_{i\in I} $, il existe une fonction $ f:I\rightarrow \cup_{i\in I}E_i $ telle que pour tout $ i\in I, f(i)\in E_i $

Mes questions :
Q1) comment se traduit formellement l'axiome 3) ?
Q2) dans l'axiome 5 on parle de propriété. C'est quoi la définition formelle d'une propriété en théorie des ensembles ?
Q3) en fait, dans la théorie des ensembles, on ne définit jamais ce qu'est un ensemble ?

merci d'avance !

[LaCompagnieDuPâté]

Salut, je vais essayer de répondre.

Q1) $ \forall X, \exists Y, \forall Z, (Z \in Y \iff \exists A, (A \in X) \wedge (Z \in A)) $
Autrement dit, $ \forall X, \exists Y, Y = \bigcup_{A \in X} A $.

Q2) Une propriété ici est une formule du premier ordre, c'est-à-dire une phrase mathématique (syntaxiquement correcte) construite uniquement à partir des symboles $ =, \in, \wedge, \vee, \neg, \forall, \exists $ et de variables $ X,Y,... $ représentant des ensembles.

Q3) Effectivement, on ne définit jamais intuitivement ce qu'est un ensemble. Dans ce cadre, les ensembles sont juste des objets qui se situent dans un "univers", éventuellement reliés entre eux par la relation $ \in $.

[mrordinal]

Merci !

Q1) j'ai compris
Q2) ça me va
Q3) Et du coup, on a pas besoin de définir l'"univers" dans la théorie des ensembles? Par contre, je me rends compte que grâce à l'axiome de l'infini, on obtient l'existence d'un ensemble, même sans avoir défini ce qu'est un ensemble

[Zetary]

Quelques précisions: tu n'as pas cité 8 axiomes mais une infinité, le mot schéma indique précisément cela, et pour la même raison tu ne peux pas écrire $ \forall P $ propriété, en fait tu as un axiome pour chaque propriété. Ensuite il te manque aussi l'axiome du vide qui te donne aussi l'existence d'un certain ensemble. Enfin l'axiome de fondation ne dit pas exactement ça, il dit: $ \forall A (A\neq \emptyset \Rightarrow \exists x \in A, \, x \cap A = \emptyset) $ (l'intersection se definit bien par compréhension)

[mrordinal]

Merci!

Il y a toutefois un point sur lequel je suis pas d'accord avec toi: je crois que l'axiome du vide ne sert à rien. Plus précisément il se déduit de l'axiome de l'infini qui postule l'existence d'au moins un ensemble (infini mais on s'en fou) $ E $ et alors l'ensemble vide existe grâce à l'axiome de compréhension en faisant $ \emptyset =\{x\in E , x\neq x\} $ non ?

[Zetary]

Regarde dans ton énoncé de l'axiome de l'infini...tu utilises déjà l'ensemble vide, il faut donc le construire avant

[mrordinal]

Arf oui dsl c'est mieux sinon la théorie se mord la queue!

[Zetary]

Regarde aussi du côté du schéma d'axiomes de remplacement. Je ne le comprends pas encore assez pour savoir s'il se déduit ou non des autres mais je crois qu'il a son importance