DM MPSI topologies et filtres

[mrordinal]

Salut

Je bloque à une question d'un devoir, j'aimerais si possible une indication pas la réponse entière

C'est la question 3. (b) i. :

Soit $ A $ un sous-ensemble de $ X $ tel que $ A\notin \mathcal F $. Soit $ A^C $ son complémentaire dans $ X $. Montrer l'existence d'un ultrafiltre $ \mathcal U $ plus fin que $ \mathcal F $ et contenant $ A^C $, le complémentaire de $ A $ dans $ X $.

(La notion d'ultrafiltre est définie plus haut dans le même document: http://alain.troesch.free.fr/2017/Fichiers/dm02.pdf)

[Iko]

Un ultrafiltre est un filtre, que suffit-il donc de faire pour montrer que Ac est dans U?

[mrordinal]

Merci c'est bon ! Cette question m'a rendue fou, en fait j'utilisais la mauvaise définition d'ultrafiltre, je risquais pas d'y arriver...

[mrordinal]

Je reviens sur une question que je n'avais pas faite :

Est ce que quelqu'un pourrait m'indiquer s'il n'y a pas une erreur à la question II-2.(e), je la cite : "Soit $ \mathcal F $ un filtre sur $ X $, et $ A\in\mathcal P(X) $. Montrer que si pour tout $ F\in \mathcal F, A\cap F\neq\emptyset $, alors il existe un filtre $ \mathcal F' $, plus fin que $ \mathcal F $ et tel que $ A\in\mathcal F' $"

Pour moi il faudrait supposer en plus que $ A\neq\emptyset $. En effet dans la correction on pose $ \mathcal D=\mathcal F\cup\{A\} $ et on montre que chaque intersection finie d'éléments de $ \mathcal D $ est non vide. Or pour que cela marche, si on prend $ A $ l'unique terme d'une telle intersection, et bien on peut avoir $ A $ vide n'est ce pas ?

[JeanN]

Tu ne peux pas montrer que A est non vide ?

[mrordinal]

Ah bah si tout simplement... $ A $ ne peut pas être vide si on suppose $ A\cap F\neq\emptyset $ pour tout $ F\in\mathcal F, \mathcal F $ étant un filtre donc contenant au moins une partie non vide!