Inégalité isopérimétrique

[Kouign amann]

Bonjour à tous !
Dans le cadre des TIPE, je cherche à montrer que la sphère est la forme géométrique qui pour un volume donné, a une surface minimale. Il me semble que ça fait référence au problème isopérimétrique. J'ai réussi à montrer qu'en dimension 2, il s'agissait du cercle, mais je n'arrive pas à généraliser à la dimension 3. De plus, je ne trouve pas d'articles convenable explicitant une démonstration.
Quelqu'un aurait-il donc une démonstration ou une référence quant à la preuve de l'inégalité isopérimétrique en dimension 3 svp ?
Merci d'avance et bonne journée !

[Yoz]

Bon je mets le calcul ici, comme chacun pourra revérifier :

On prend un cylindre de taille de rayon $ a $ et hauteur $ c\times a $.

-Pour la sphère avec un rayon de a on obtient : $ V/S=\frac{a}{3} $

-Pour le cylindre : $ \frac{V}{S}=\frac{c\times a^3\pi}{2\pi a^2\times c+2\pi a^2 }=\frac{a \times c}{2(1+c)} $

-avec $ c=3 $ on obtient : $ \frac{V}{S}=\frac{3a}{8}>\frac{a}{3} $

C'est faux, car si ton cylindre et ta boule ont même volume, alors le rayon a ne vaut pas la même chose dans les deux cas.
Par ailleurs, ça violerait les lois de physique (avec la tension de surface, etc.) .

[Yoz]

Le but est de chercher le solide qui, à volume fixé, est de surface minimale.
Un cylindre de rayon a et de hauteur 3a n'a pas le même volume qu'une boule de rayon a.

Remarque : ça ne sert à rien de chercher le solide de rapport V/S maximal, car ce rapport n'est pas borné (il suffit de prendre une boule de rayon arbitrairement grand). La bonne méthode consiste à maximiser V^2/S^3 : cela adimensionne le problème.

[darklol]

Dattier, tu as juste exhibé un objet 3D dont le rapport volume/surface est plus grand que le rapport volume/surface d’une boule.

Sinon, l’inégalité isopérimétrique en dimension 3 n’est pas un problème facile, notamment car il est plus dur de définir l’aire d’une surface dans un espace euclidien de dimension 3 que de définir la longueur d’une courbe dans un espace euclidien de dimension 2. Néanmoins, l’article Wikipedia résume bien toutes les étapes à considérer pour obtenir une inégalité isoperimetrique en dimension supérieure.

[Ewind]

Complétement HP en prépa et j'ai pas fait le calcul, mais lagrange ne peut pas permettre de les obtenir " facilement" ?

[bullquies]

Pour ceux que la comparaison intéresse:

Soit une boule et un cylindre de surface S.

Soit r le rayon de la boule, a le rayon du cylindre et h sa hauteur.

$ S = 4 \pi r^2 $ donc $ r = \frac{\sqrt{S/ \pi}}{2} $.

Puisque son volume est $ V_B = \frac{4}{3} \pi r^3 $, on a $ V_B = \frac{4}{3} \pi \frac{\sqrt{S^3/ \pi^3}}{8} $, soit $ V_B = \sqrt{\frac{S^3}{36 \pi}} $

Maintenant il faut regarder le cylindre qui optimise le volume à surface constante, avec a et h comme paramètre (h est fonction de a, beurk).

Surface du cylindre:

$ S = 2 \pi a (h + a) $

Son volume $ V_C = \pi h a^2 = \frac{S a}{2} - \pi a^3 $
Il nous faut trouver a qui maximise le volume de ce cylindre, on dérive etc on trouve $ a = \sqrt{\frac{S}{6 \pi}} $ et $ V_C = \sqrt{\frac{S^3}{54 \pi}} < V_B $

Donc à surface constante, il vaut mieux choisir une sphère plutôt qu'un cylindre pour avoir un volume plus grand à l'intérieur.

Si on veut l'inverse (volume constant et surface minimisée), j'ai l'impression que c'est plus chiant parce qu'on finit avec des racines cubiques de partout

[Yoz]

Ça m'a l'air correct .
J'insiste quand même sur ma méthode qui consiste à calculer x = V^2/S^3 : en adimensionnant, on vire toutes les variables homogènes à une longueur sans avoir à exprimer (par exemple) a en fonction de c. Ensuite il ne reste plus qu'à faire le rapport de x(cylindre)/x(sphère) : on obtient une fonction d'une seule variable c et on a le résultat à volume fixé ET à surface fixée. On démontre aussi que nécessairement le résultat à volume fixé doit être le même qu'à surface fixée quels que soient les solides considérés (ça me paraissait évident, mais j'imagine qu'une démonstration ne fait pas de mal).

[darklol]

On démontre aussi que nécessairement le résultat à volume fixé doit être le même qu'à surface fixée quels que soient les solides considérés (ça me paraissait évident, mais j'imagine qu'une démonstration ne fait pas de mal).

Peut être que ça te parait tout aussi évident que si tu traces une courbe fermée dans le plan, alors ça sépare le plan en une partie bornée (l’interieur de la courbe) et une autre non bornée (l’extérieur de la courbe)? Une démonstration ne ferait pas de mal non plus

Bon permettez moi de recentrer le sujet. Comme Yoz l’a rappelé, il y a une démonstration »physique » du résultat comme on cherche à minimiser l’energie potentielle etc, qui est d’ailleurs une démonstration très intéressante et qui je pense pourrait être une bonne chose à présenter dans un TIPE. Mais ça n’est pas une démonstration mathématique.

Pour une démonstration mathématique, la première chose à faire c’est définir l’aire d’une surface 3D. Ça n’est pas un problème facile. On peut par exemple définir les mesures de Hausdorff. Dans ce que j’ai lu sur l’inégalité isopérimetrique, on utilise plutôt le contenu de Minkowski. Il y a même une troisième mesure que les mathématiciens et physiciens utilisent qui provient de la théorie des distributions. Je pense que s’intéresser à ça est une première étape avant de vouloir s’attaquer à l’inégalité isopérimetrique.

[Genius_]

Juste par curiosité, du coup c'est la sphère ou pas le plus optimal ?

[siro]

Je vois mal comment ça ne pourrait pas être la sphère, par un argument de symétrie... (au moins en 3D)
Genre physiquement ça serait *très* surprenant (pour une surface simplement connexe disons). Pour des conneries type bulles d'eau (dans l'espace, en apesanteur) ou d'air (dans un liquide) qui prennent en minimisant leur énergie (tension de surface, en les supposant non compressibles) une forme sphérique.