Sous-espace vectoriel fermé

Un problème, une question, un nouveau théorème ?

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Re: Sous-espace vectoriel fermé

Message par bullquies » 16 avr. 2018 17:24

Tout* R-ev
The Axiom of Choice is obviously true, the Well-Ordering Principle is obviously false, and nobody knows about Zorn's Lemma. - Jerry Bona

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Re: Sous-espace vectoriel fermé

Message par BijouRe » 16 avr. 2018 17:31

Bolzano Weierstrass assure que la valeur d'adhérence appartienne à A ?
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Re: Sous-espace vectoriel fermé

Message par Sylve » 16 avr. 2018 17:38

Je comprends pas trop où on utilise Bolzano-Weierstrass dans la preuve de l'auteur, il me semble plutôt qu'on dit que la suite (an) est dans une boule fermée bornée intersectée avec A, qui est donc un fermé borné pour la topologie induite sur A (et donc un compact de A) et admet donc une VAD dans A inter la boule et donc dans A.
Modifié en dernier par Sylve le 16 avr. 2018 17:44, modifié 2 fois.

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Re: Sous-espace vectoriel fermé

Message par siro » 16 avr. 2018 17:41

darklol a écrit :
16 avr. 2018 17:15
siro a écrit :
16 avr. 2018 17:01
Tout R-ev a la puissance du continu en fait.
Le $ \mathbb{R} $-ev $ \{0\} $ aussi du coup?
Bien vu. :mrgreen:
Chaque vénérable chêne a commencé par être un modeste gland. Si on a pensé à lui pisser dessus.

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Re: Sous-espace vectoriel fermé

Message par matmeca_mcf1 » 16 avr. 2018 17:50

Sylve a écrit :
16 avr. 2018 17:38
Je comprends pas trop où on utilise Bolzano-Weierstrass dans la preuve de l'auteur, il me semble plutôt qu'on dit que la suite (an) est dans une boule fermée bornée intersectée avec A, qui est donc un fermé borné pour la topologie induite sur A (et donc un compact de A) et admet donc une VAD dans A inter la boule et donc dans A.
Appelons B la boule unité fermé de E. $ B\cap A $ est fermée dans $ A $ mais $ B\cap A $ n'est pas forcément fermé dans $ E $. On passe par la compacité (ou la complétude qui est hors programme) car ce sont des propriétés intrinsèques. $ B\cap A $ est compact et "non compact dans E" ou "compact dans A". Alors qu'un ensemble est fermé dans un autre ensemble, la propriété n'est pas "intrinsèque" (terminologie personnelle non officielle). La notion de fermé dépend de l'espace normé dans lequel on se place. Tout ensemble est fermé dans lui-même. Et ouvert dans lui-même.
Ancien ENS Cachan (maths) 1999--2003
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Les opinions exprimées ci-dessus sont miennes et ne reflètent pas la position officielle de l'école dans laquelle j'enseigne.

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Re: Sous-espace vectoriel fermé

Message par Sylve » 16 avr. 2018 18:03

J'ai du mal à vous suivre. Je ne vois pas pourquoi vous dited que la compacité est plus intrinsèque que le fait d'être fermé, puisque comme vous l'avez dit ces deux propriétés dépendent de l'espace sur lequel on se place.

Je crois qu'il y avait juste mésentente sur ce qu'on appelle Bolzano-Weierstrass, mais ça doit revenir au même.

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Re: Sous-espace vectoriel fermé

Message par darklol » 16 avr. 2018 18:10

@Sylve Je pense que ces subtilités topologiques peuvent justement être un peu trop subtiles pour un élève de prépa. Commence par méditer cette phrase de matmeca_mcf1:
Appelons B la boule unité fermé de E. $ B\cap A $ est fermée dans $ A $ mais $ B\cap A $ n'est pas forcément fermé dans $ E $.
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Re: Sous-espace vectoriel fermé

Message par mechiche » 16 avr. 2018 18:15

siro a écrit :
16 avr. 2018 17:01
mechiche a écrit :
16 avr. 2018 16:08
Merci à vous deux pour vos réponses, je comprends maintenant.

Dernière petite question ? $ \mathbb{Q} $ est bien un $ \mathbb{R} $-espace vectoriel de dimension $ 1 $ non ?
Bah non, si c'était un sev de R, alors pour tout u \in R et tout X \Q, u.X \in Q. Or pour u = \sqrt(2) et X = 1 \in Q, ça ne fonctionne pas.

Tout R-ev a la puissance du continu en fait. (sauf {0})
Effectivement pardon, c'est seulement un $ \mathbb{Q} $-espace vectoriel.
Je voulais dire que c'était étrange alors que le théorème ne s'applique pas à $ \mathbb{Q} $, qui est un ouvert, mais comme l'a signalé matmeca
matmeca_mcf1 a écrit :
16 avr. 2018 17:50
Tout ensemble est fermé dans lui-même. Et ouvert dans lui-même.

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Re: Sous-espace vectoriel fermé

Message par BijouRe » 16 avr. 2018 18:16

C'est l'idée de fermé relatif ?
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Re: Sous-espace vectoriel fermé

Message par darklol » 16 avr. 2018 18:24

mechiche a écrit :
16 avr. 2018 18:15
$ \mathbb{Q} $, qui est un ouvert
$ \mathbb{Q} $ n’est pas un ouvert de $ \mathbb{R} $.
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