Exercices de MPSI

[Errys]

Ah oui.... Je vois ce que tu veux dire, merci pour la précision ! Dans un n-uplet on peut avoir des répétitions. Mais ducoup I_n est inclus dans N^n non ?

Merci pour les exercices, je vais les commencer dimanche soir

[Zetary]

On ne peut pas vraiment donner cette inclusion non (une autre différence majeure est que dans un n-uplet l'ordre des éléments importe, pas dans un ensemble), mais tu peux essayer de trouver une injection...

[Errys]

Ok je comprend mieux maintenant. Merci pour l'explication.

[Errys]

J'ai enfin trouvé la preuve pour l'irrationalité de pi !

SPOILER:

On suppose par l'absurde que $ \pi=p/q $
En utilisant le binôme de Newton pour transformer l'expression de $ f_n $ il vient :
$ f_n(x) = \dfrac{1}{n!}\left(\displaystyle\sum_{k=0}^n \binom{n}{k}(-1)^k(px)^k(qx^2)^{n-k}\right) = \dfrac{1}{n!}\left(\displaystyle\sum_{k=0}^n \binom{n}{k}(-1)^kp^k x^{2n-k}q^{n-k}\right) $

Ainsi : $ I_n = \dfrac{1}{n!}\displaystyle\sum_{k=0}^n\int_{0}^\pi \sin(x)\binom{n}{k}(-1)^kp^kx^{2n-k}q^{n-k}dx $
$ = \dfrac{1}{n!}\displaystyle\sum_{k=0}^n\left(\binom{n}{k}(-1)^kp^kq^{n-k}\int_{0}^{\pi}\sin(x)x^{2n-k}dx\right) $

Je suis sur mon ordinateur portable donc je ne vais pas avoir le courage d'écrire bien toutes les IPP mais en gros, en faisant 2n-k IPP, on perd le x et il reste plus que $ \sin(x) $ ou $ cos(x) $ selon la parité de k/n. Ainsi, en utilisant les primitives on a un entier. Et en faisant les IPP, il reste aussi $ (2n-k)! $ ce qui nous assure que chaque terme de la somme est divisible par $ n! $ et donc que $ I_n $ est entier.

Ainsi :
$ \forall n\in\mathbb{N}, I_n \in\mathbb{N}^* $
On arrive à une contradiction en remarquant que $ I_n\longrightarrow 0 $. Donc $ \pi $ est irrationnel.

[Zetary]

Bravo, même si tu t'es compliqué la vie (fais attention, il y a une question que tu n'as pas utilisée), ta preuve est juste mais cette question intermédiaire servait à faire que la derniere question soit pratiquement sans calculs

[matmeca_mcf1]

Un exercice de concours général: soit $ x\geq0 $ et $ y\geq0 $. Montrez que $ x^y+y^x\geq 1 $.

Indice:

SPOILER:

Montrez que si $ 0<x<1 $ et $ 0<y<1 $, alors $ x^y\geq\frac{x}{x+y} $.

[Errys]

Ah je suis content d'être venu à bout de cet exercice ! Il était intéressant. J'ai essayé de chercher le lien entre la question intermédiaires et la dernière question mais j'ai rien trouvé, malgré avoir exploré beaucoup de pistes ^^

[matmeca_mcf1]

Voici un autre exercice. Dans http://louislegrand.org/images/stories/ ... MINALE.pdf,

Remarque Unicité de la décomposition en facteurs premiers
Il est nettement moins facile d’établir qu’à l’ordre des facteurs près, il n’y a qu’une décomposition d’un entier supérieur ou égal à 2 en produit de facteurs premiers. Ce résultat fondamental sera établi en MPSI.

Ils ont parfaitement raison, c'est effectivement moins facile. En MPSI, dans les anciens programmes on déduisait l'unicité à partir des idéaux de Z. Le but ici est de démontrer l'unicité de cette décomposition de manière élémentaire. Je vous renvoie à leur poly d'exercice pour l'existence.

On raisonne par l'absurde et on suppose qu'il existe un entier naturel dont la décomposition en facteurs premiers n'est pas unique.

• Montrez qu'alors il existe un plus petit entier naturel $ n $ dont la décomposition en nombres premiers n'est pas unique.
• Montrez que $ n $ n'est pas premier. Soient deux décompositions distinctes en nombres premiers de $ n $. Montrez que ces deux décompositions en facteurs premiers n'ont aucun facteur commun (si un premier apparait dans une décomposition, il n'apparait pas dans l'autre et vice versa).
• Soit $ p $ le plus petit premier apparaissant dans la première décomposition, et $ q $ le plus petit premier apparaissant dans la deuxième décomposition. On suppose $ p\leq q $. Montrez que $ n-p\frac{n}{q} $ admet deux décompositions distinctes en facteurs premiers.
• Conclure.

Note: J'ai vu cette démo bien après avoir vu la démo utilisant les idéaux principaux en prépa. Je l'ai vu dans le cours de théorie des nombres de paris-sud (que j'ai suivi quand j'étais à l'ENS Cachan). Elle reste élémentaire et compréhensible si ce n'est en terminale, alors au moins en sup.

[matmeca_mcf1]

Un exo classique (pas le temps de vérifier s'il est déjà dans les 600 pages du topic). Ce n'est pas faisable en terminale mais ce devrait l'être en sup. Soit $ K $ un compact. Soit $ (f_n)_{n\in\mathbb{N}} $ une suite de fonctions continues de $ K $ à valeurs dans $ \mathbb{R}^+ $. On suppose que pour tout $ x $ dans $ K $, la suite $ f_n(x) $ est décroissante. On suppose que la suite $ f_n $ converge simplement vers $ 0 $. Montrez que $ f_n $ converge uniformément vers $ 0 $. C'est assez facile en utilisant la compacité au sens de Borel-Lebesgue (recouvrement d'ouverts mais hors programme en prépa) mais cela reste faisable avec la compacité séquentielle (définition de la compacité vu en prépa).

EDIT: Visiblement, ce n'est pas faisable en sup non plus. Je laisse l'exo au cas où.

[Krik]

La compacité et la convergence simple/uniforme ne sont pas au programme de sup, c'est plutôt un exercice classique de spé (pour ceux qui veulent en savoir plus, c'est un des théorèmes de Dini).