Exo proba kholle

[Jufi]

Bonsoir à tous,
J'essaye de refaire un exercice que j'ai eu en khôlle dernièrement sur les probas et qui m'a pausé problème, je me rend compte qu'il me pose toujours problème .
Je viens donc ici pour chercher de l'aide, voici l'énoncer :

On tire simultanément trois boules dans une urne qui en contient 20 numérotées de 1 à 20.
Soit A(k) l'événement : "Le numéro de la boule intermédiaire est égal à k". Calculer P(A(k)) en fonction de k.

Je suis totalement coincé, je pense que chaque tirage a une probabilité de (3 parmis 20) car on tire des groupes de 3 boules mais je ne sais pas où aller. Je me souviens également que le kholleur m'a dit que P(A(1)) = P(A(20)) = 0; cependant je ne comprend pas pourquoi car si on tire trois boules simultanément la boule 1 peut bien se trouver au milieu ou est ce que je me trompe ?

Merci d'avance pour votre aide,
Jufi.

[Lily1998]

La boule intermédiaire, ici, c'est la boule dont le numéro n'est ni le minimum, ni le maximum des 3 numéros tirés. Donc ça ne peut pas être 1 ou 20.

[matmeca_mcf1]

Probablement intermédiaire signifie qu'on tire trois boules numérotés x, y, z avec x<y<z et la boule intermédiaire est y.

[BobbyJoe]

Les boules sont piochées simultanément puis ordonnées.... La boule intermédiaire, celle qui a le numéro médian, ne peut pas être ni $1$, ni $20$ (c'est une question de français?)
Enfin, par un "calcul direct", on a pour tout $k$ appartenant à $ $$\{1,\ldots,n\},$ $ $$$\mathbb{P}(A_{k})=\frac{(k-1)(n-k)}{\binom{n}{3}}.$$
Dire que la boule médiane prend la valeur $k$ veut dire que la plus petite boule peut prendre toutes ses valeurs $ $$\{1,\ldots,k-1\}$ et que la plus grande boule peut prendre toutes ses valeurs dans $ $$\{k+1,\ldots,n\}.$ Ou si tu préfères, le nombre de $3-$ listes ordonnées à valeurs dans $ $$\{1,\ldots,n\}$ ayant pour valeur médiane $k$ est $ $$(k-1)(n-k).$

[Jufi]

Re-bonsoir,
Merci beaucoup pour vos réponses qui m'ont bien éclairé ! J'avais effectivement un problème de compréhension de l'énoncé car je n'avais pas saisi que la boule intermédiaire signifiait celle de "numéro" intermédiaire.
Merci BobbyJoe pour ta réponse très détaillée.
Bonne soirée.

[1sala23]

Les boules sont piochées simultanément puis ordonnées.... La boule intermédiaire, celle qui a le numéro médian, ne peut pas être ni $1$, ni $20$ (c'est une question de français?)
Enfin, par un "calcul direct", on a pour tout $k$ appartenant à $ $$\{1,\ldots,n\},$ $ $$$\mathbb{P}(A_{k})=\frac{(k-1)(n-k)}{\binom{n}{3}}.$$
Dire que la boule médiane prend la valeur $k$ veut dire que la plus petite boule peut prendre toutes ses valeurs $ $$\{1,\ldots,k-1\}$ et que la plus grande boule peut prendre toutes ses valeurs dans $ $$\{k+1,\ldots,n\}.$ Ou si tu préfères, le nombre de $3-$ listes ordonnées à valeurs dans $ $$\{1,\ldots,n\}$ ayant pour valeur médiane $k$ est $ $$(k-1)(n-k).$

Bonjour BobbyJoe,

Pourriez vous m'expliquer pourquoi au dénominateur de votre résultat il y a $ $$${\binom{n}{3}}$$ ?? Je ne me suis pas trop attardé sur l'exercice, mais j'avais trouvé à la place de $ $$${\binom{n}{3}}$$ 8000 (20^3)

[JeanN]

Tu pioches 3 boules parmi 20 donc 3 parmi 20 possibilités.

[1sala23]

Tu pioches 3 boules parmi 20 donc 3 parmi 20 possibilités.

Dit comme ça, effectivement c'est logique ^^, merci .

Mais du coup, pourriez vous m'expliquer où est ce que je fais une erreur dans mon raisonnement :

On fixe k compris entre 1 et 20 compris, on a donc 1/20 de tomber sur la boule k. Pour que cette boule soit la boule intermédiaire, il faut qu'une des deux autres boules soit compris entre 1 et k-1 (donc il y a k-1 boules qui respectent cette contrainte) et l'autre des deux boules doit être comprise entre k+1 et 20 soit 20-k boules qui respectent cette propriété. On a donc P(A(k))= 1/20 * (k-1)/20 * (20-k)/20 = (k-1)(20-k)/8000

(On peut remplacer 20 par n dans ce que j'ai écris)

[saysws]

Il y a plusieurs choses qui vont pas dans ton raisonnement, déjà tu raisonne en "arrangements" (ou n-uplet) c'est à dire que tu effectue les tirages les uns après les autres, ici ils sont simultanés donc on s'intéresse à des combinaisons.
De plus même avec des arrangements quand tu tire une boule elle n'est plus dedans ce qui ferait du 20*19*18 possibilités, tu ne peux pas tirer à nouveau la boule que tu à déjà tirer ! (les tirages simultanés avec remise c'est pas évident..)
Mais ici l'ordre est quelconque on divise donc par 3! (nombre d'arrangements correspondant à une combinaison de 3 éléments).
Ainsi le nombre total de possibilités est bien 3 parmi n.
Tu l'aura compris, dans ce genre d'exo de proba/dénombrement où tout les tirages sont équiprobables on commence par calculer séparément le nombre de cas qui conviennent et le nombre de cas total.
En faisant le quotient ça devrait être bon (j'ai pas réfléchis à l'exo a part ça )

Après si t'as jamais entendu parler d'arrangements ou de combinaisons ça doit pas être évident à comprendre, retiens juste que la différence est que les arrangements sont ordonnés (x,y,z), les combinaisons non {x,y,z} (k parmi n = nombre de parties à k élément d'un ensemble de n éléments).

[1sala23]

Il y a plusieurs choses qui vont pas dans ton raisonnement, déjà tu raisonne en "arrangements" (ou n-uplet) c'est à dire que tu effectue les tirages les uns après les autres, ici ils sont simultanés donc on s'intéresse à des combinaisons.
De plus même avec des arrangements quand tu tire une boule elle n'est plus dedans ce qui ferait du 20*19*18 possibilités, tu ne peux pas tirer à nouveau la boule que tu à déjà tirer ! (les tirages simultanés avec remise c'est pas évident..)
Mais ici l'ordre est quelconque on divise donc par 3! (nombre d'arrangements correspondant à une combinaison de 3 éléments).
Ainsi le nombre total de possibilités est bien 3 parmi n.
Tu l'aura compris, dans ce genre d'exo de proba/dénombrement où tout les tirages sont équiprobables on commence par calculer séparément le nombre de cas qui conviennent et le nombre de cas total.
En faisant le quotient ça devrait être bon (j'ai pas réfléchis à l'exo a part ça )

Après si t'as jamais entendu parler d'arrangements ou de combinaisons ça doit pas être évident à comprendre, retiens juste que la différence est que les arrangements sont ordonnés (x,y,z), les combinaisons non {x,y,z} (k parmi n = nombre de parties à k élément d'un ensemble de n éléments).

Merci de ta réponse, la j'ai très bien compris (après, en me relisant, je me rend compte de l'absurdité postée en étant fatiguée x) je vais éviter de me lancer dans ce type d'exercice passé une certaine heure )