Exercices de mpsi (et un peu de terminale)

[Chronoxx]

Exercice 13

SPOILER:

On considère le coefficient $ c_{2n+1} $ positif (démonstration similaire s'il est négatif)

La limite en -inf du polynôme vaut -inf (on peut factoriser par $ c_{2n+1} * x^{2n+1} $ pour le prouver, avec la parenthèse qui tend vers 1, mais jamais j'écris ça en LaTeX désolé

De même, la limite en +inf vaut +inf

On applique le TVI comme le polynôme est continu, donc l'équation P(x) = 0 admet au moins une solution réelle

Haha, c'est vrai que la rédaction, c'est ce qu'il y a de plus long

[Errys]

Plus dur :

Exercice 14

Etudier la convergence de la suite $ (u_n) $ définie par :
$ u_0\ge 0 $ et pour tout entier naturel n : $ u_{n+1} = \sqrt{u_n} + \dfrac{1}{n+1} $

[Chronoxx]

Exercice 14

SPOILER:

Soit $ (V_n) $ définie par :
$ \forall n \in \mathbb N, V_{n+1} = \sqrt{V_n} $ et $ V_{0}>0 $.

Si $ 0< V_{0} < 1 $, on démontre par récurrence qu'alors $ 0<V_{n} \leq V _{n+1} < 1 $.$ \quad $ (1)
Si $ V_{0} \ge 1 $, on démontre par récurrence qu'alors $ 1\leq V _{n+1} \leq V_{n} $. $ \quad $ (2)

Démontrons que $ (U_n) $ est convergente.
On suppose par la suite que $ n≠0 $.
$ 1 \leq U_{n+1} \leq U_{n} $ (Encore une démo par récurrence)
Donc $ (U_n) $ converge.

J'ai un doute à partir de là, je ne sais pas si on a le droit de faire ça mais tentons
Pour $ n $ grand, $ \displaystyle\frac{1}{n+1} $ est négligeable donc $ U_n \underset{+\infty}{\sim} V_n $.

La fonction $ f:x \in \mathbb R_+ \mapsto \sqrt{x} $ est continue sur cet intervalle.
$ V_n \rightarrow \ell $ et $ V_{n+1} \rightarrow \sqrt{\ell} $.
Par unicité de la limite :
$ \ell = \sqrt{\ell} \Leftrightarrow \ell=1 $ ou $ \ell=0 $.
D'après (1) et (2), $ \ell=1 $.

Donc $ U_n \rightarrow 1 $

[Errys]

Non, tu ne peux pas faire ca
Car certes $ 1/n+1 $ devient négligeable devant $ u_{n} $ mais tu ne sais pas si $ v_n $ et $ u_n $ sont proches.

Peut-être que quelqu'un d'autre pourra mieux expliquer.... Après peut-être que je me trompe mais dans ce cas là, c'est hp :p

[Chronoxx]

Non, tu ne peux pas faire ca
Car certes $ 1/n+1 $ devient négligeable devant $ u_{n} $ mais tu ne sais pas si $ v_n $ et $ u_n $ sont proches.

Peut-être que quelqu'un d'autre pourra mieux expliquer.... Après peut-être que je me trompe mais dans ce cas là, c'est hp :p

C'est ce que je me suis dit en effet ^^
Bon, dommage !

[matmeca_mcf1]

On peut résoudre l'exercice 14 très facilement avec la limsup et la liminf mais c'est hors-programme en terminale (normal) et aussi hors-programme en prépa (je n'ai jamais compris pourquoi). En prépa, c'est faisable en revenant à la définition de limite (mais au combien plus pénible à rédiger qu'avec la limsup et la liminf). Avec les outils de terminale, je n'en sais rien. Voyez-vous la définition rigoureuse de la limite en terminale?

[Errys]

Woops j'avais mal lu une partie de ta solution (mes yeux fatiguent :p), j'étais resté bloqué sur l'équivalent.
Peux-tu expliquer comment tu montres que $ (U_n) $ est décroissante (les grandes lignes de la récurrence) ? Car je n'avais pas réussi à faire ca par récurrence donc j'aimerai bien voir

[Chronoxx]

On peut résoudre l'exercice 14 très facilement avec la limsup et la liminf mais c'est hors-programme en terminale (normal) et aussi hors-programme en prépa (je n'ai jamais compris pourquoi). En prépa, c'est faisable en revenant à la définition de limite (mais au combien plus pénible à rédiger qu'avec la limsup et la liminf). Avec les outils de terminale, je n'en sais rien. Voyez-vous la définition rigoureuse de la limite en terminale?

Non, on ne voit pas la définition avec tous les quantificateurs. La limite nous est définie comme un nombre vers lequel une fonction f se rapproche quand x devient de plus en plus grand.

[Errys]

On peut résoudre l'exercice 14 très facilement avec la limsup et la liminf mais c'est hors-programme en terminale (normal) et aussi hors-programme en prépa (je n'ai jamais compris pourquoi). En prépa, c'est faisable en revenant à la définition de limite (mais au combien plus pénible à rédiger qu'avec la limsup et la liminf). Avec les outils de terminale, je n'en sais rien. Voyez-vous la définition rigoureuse de la limite en terminale?

On ne voit pas la définition avec tous les quantificateurs mais la définition donnée convient pour la solution

EDIT: grillé :p
EDIT2 : Voici la définition de la convergence dans le programme officiel : tout intervalle ouvert contenant l contient toutes les valeurs $ u_n $ à partir d’un certain rang. C'est donc identique à la définition avec les quantificateurs, mais avec des mots

[Chronoxx]

Woops j'avais mal lu une partie de ta solution (mes yeux fatiguent :p), j'étais resté bloqué sur l'équivalent.
Peux-tu expliquer comment tu montres que $ (U_n) $ est décroissante (les grandes lignes de la récurrence) ? Car je n'avais pas réussi à faire ca par récurrence donc j'aimerai bien voir

Mmm
$ U_{n+1} < U_{n} $ (H.R)
$ \sqrt{U_{n+1}} < \sqrt{U_{n}} $
$ \sqrt{U_{n+1}} + \frac{1}{n+1} < \sqrt{U_{n}} + \frac{1}{n+1} $

Or $ \frac{1}{n+2} < \frac{1}{n+1} $ donc $ \sqrt{U_{n+1}} + \frac{1}{n+2} < \sqrt{U_{n+1}} + \frac{1}{n+1} $ d'où le résultat.

Normalement, si j'ai pas fait de fautes.