Réductions d'endomorphisme

[Arnuq]

Bonjour,
Je passe mes oraux pour les grandes écoles dans 1 semaine et je suis donc en période de révisions. Seulement je bloqué sur un exercice de réduction d'endomorphismes et je souhaiterai donc un peu d'aide
Le sujet est le suivant :
Soit E=R^n et u(x)= x+phi(x)*x0
Avec x € E, x0 € E\{0}, phi une forme linéaire non nulle.

On me demande de montrer que 1 est valeur propre de u, puis de déterminer le sous espace propre associé. Ensuite il faut donner une condition nécessaire et suffisante pour que u soit diagonalisable.

J'ai donc pensé au polynôme caractéristique, sans résultat puis j'ai essayé la caractérisation d'une valeur propre ( u(x) = a*x ) sans résultats non plus

Une piste pour démarrer un raisonnement serait donc la bienvenue et plus si j'en reçois le besoin
Merci d'avance pour votre aide, bonne après midi !

[BijouRe]

Comment est-ce tu peux caractériser une forme linéaire ( ici phi) ? Et est-ce qu’il y a moyen de l´annuler pour un certain x ?

[Arnuq]

Exact! On peut l'annuler pour x=0 (celui de E) il me semble? Pour moi elle ne pouvait pas valoir 0 j'ai confondu non nulle qui traite de l'application et non nulle qui traite du résultat... Merci beaucoup !

[BijouRe]

Attention ! Un vecteur propre ne peut valoir 0 (ou sinon il y aurait une infinité de valeur propre pour tous les endomorphismes).
Comment est-ce que tu définis une forme linéaire ?

[Arnuq]

C'est une application linéaire non nulle du coup ici, dont l'image "arrive" dans R.
Donc pour moi il existe un x1 €E, tel que phi(x1) =0.
Dans ce cas u(x1) = 1*x1, la valeur propre est 1, le vecteur propre x1 et l'espace propre vect(x1).
Est ce vrai?

[BijouRe]

Il suffit donc de montrer qu'il existe au moin un x tq phi(x)=0
Qu'est-ce que tu peux dire de la dimension de l'espace de départ et d'arrivé de Phi ? Que peux tu en conclure sur Phi ? (Va revoir la définition d'une forme linéaire)

[Arnuq]

Ok je vais faire ça merci!

R est de dimension 1 et R^n est de dimension n

[Arnuq]

Je n'y arrive toujours pas

[Zetary]

Comment relier le fait que 1 soit valeur propre avec l’injectivité d’un certain endomorphisme ? Que représente, pour cet endomorphisme, le sous-espace propre associé ?

[Arnuq]

1 est valeur propre de u donc u-1*x n'est pas injectif et le noyau de (u-x) n'est pas {0}. Donc la dimension du sous espace propre de 1 est supérieure à 1.
Le sous espace propre c'est l'ensemble des vecteurs propres de u associés à 1 il me semble?