Exercices de mpsi (et un peu de terminale)

[jmctiti]

J'ai beaucoup séché sur ce problème, sans trouver de solution et j'ai donc décidé de lire votre solution, que je comprends à peine (ce qui m'éffraie!) alors que je rentre en MPSI.
En fait, je ne trouve pas naturelle la factorisation que vous avez faite du numérateur. Comment l'avez-vous vue?
Une autre chose : je ne comprends pas les mots de téléscopage ni de décomposition en éléments simples : pouvez vous m'éxpliquer?

Si tu regardes les premières valeurs $ k=1 $, $ k=2 $ voire $ k=3 $, tu peux te rendre compte que le numérateur de la fraction réduite est un carré, et que pour ces valeurs, il s'exprime facilement en fonction de $ k $ : c'est le carré de $ k (k+1)+1 $

Cela peut te donner une façon bien plus simple de calculer pour trouver ce carré, en ne touchant pas au carré $ k^2 (k+1)^2 $ et en ne développant que le reste pour faire apparaître ce que l'on attend.

Quant aux termes que tu ne comprends pas, c'est normal, tu les apprendras l'an prochain.

Édit : suppresion des spoilers qui ne voulaient pas s'ouvrir

[Simon Billouet]

La fonction arc tangente est hors du programme du lycée. D'ailleurs, même la fonction tangente l'est...

[lkazikian]

Salut les gars, voilà je rentre en MPSI et je n’y arrive pas avec ces deux exercices meme avec la pseudo correction du polycopié. Si quelqu’un peut m’aider ou même me donner des pistes. Merci beaucoup

[lkazikian]

Solution de l'exo 22 :

SPOILER:

Soit $ S_n = \sum_{k=1}^{n} \sqrt{1+\frac{1}{k^2}+\frac{1}{(k+1)^2}} $
En mettant au même dénominateur et en développant on trouve : $ S_n = \sum_{k=1}^{n} \sqrt{\frac{k^4+2k^3+3k^2+2k+1}{k^2(k+1)^2}} $
Puisque $ (a+b+c)^2 = a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ac $, on a $ k^4+2k^3+3k^2+2k+1 = (k^2 +k+1)^2 $ et la somme devient $ S_n = \sum_{k=1}^{n} \frac{k^2+k+1}{k(k+1)} $ qu'on peut réécrire $ S_n = \sum_{k=1}^{n} (1+\frac{1}{k(k+1)})= \sum_{k=1}^{n} 1 + \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k(k+1)} $
De plus, par décomposition en éléments simples, il vient : $ \frac{1}{k(k+1)}=\frac{1}{k}-\frac{1}{k+1} $
Donc $ S_n = n + \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k} -\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k+1} $
Enfin par téléscopage on a $ \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k} -\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k+1} = 1 - \frac{1}{n+1} $
Finalement $ S_n = n + 1 - \frac{1}{n+1} $

J'ai beaucoup séché sur ce problème, sans trouver de solution et j'ai donc décidé de lire votre solution, que je comprends à peine (ce qui m'éffraie!) alors que je rentre en MPSI.
En fait, je ne trouve pas naturelle la factorisation que vous avez faite du numérateur. Comment l'avez-vous vue?
Une autre chose : je ne comprends pas les mots de téléscopage ni de décomposition en éléments simples : pouvez vous m'éxpliquer?

Tiens je te donne ce que j’ai fait

[Luckyos]

Salut les gars, voilà je rentre en MPSI et je n’y arrive pas avec ces deux exercices meme avec la pseudo correction du polycopié. Si quelqu’un peut m’aider ou même me donner des pistes. Merci beaucoup

Si tu veux de l'aide, essaie d'être plus clair sur ce que t'as pas réussi, et sur les pistes que t'as essayées, ça sera plus simple pour tout le monde

Sinon ces deux exercices sont pas les plus instructifs du polys et sont un peu bizarres si je me rappelle bien.

[Nabuco]

Salut les gars, voilà je rentre en MPSI et je n’y arrive pas avec ces deux exercices meme avec la pseudo correction du polycopié. Si quelqu’un peut m’aider ou même me donner des pistes. Merci beaucoup

Pour la question 10 a il faut faire une récurrence forte.
Pour l hérédité si tu supposes la propriété vraie pour tout k<n tu utilises la définition de un. Comme la partie entière de x est plus grande strictement que x-1 pour tout réel x tu vas normalement obtenir un>n. Ensuite il faudra une propriété de la suite un pour conclure

[Errys]

Un exercice que j'ai beaucoup aimé, il utilise un peu la notion de continuité en un point qui est HP en TS mais un rappel de la définition suffit pour résoudre cet exercice (qui ducoup, respecte les règles du fil).

Exercice 24 :

Rappel de la définition de la continuité :
Une fonction réelle est dite continue en un point $ x $ réel si pour tout $ \varepsilon>0 $, il existe $ \delta>0 $ tel que $ |x-y|<\delta\implies |f(x)-f(y)|< \varepsilon $

Soit $ f $ une fonction continue positive sur un intervalle $ [a,b] $. On notera M le maximum de $ f $ sur $ [a,b] $ et on supposera qu'il existe $ c\in ]a,b[ $ tel que $ f(c) = M $. Montrer

$$ \lim_{n\to+\infty} \left(\int_{a}^b f(t)^n dt\right)^\frac{1}{n} = M $$

Indication

SPOILER:

On pourra minorer l'intégrale en se limitant à un petit intervalle $ I $ contenant de $ c $ tel que pour tout $ x\in I $, $ f(x)\in ]M-\varepsilon, M] $ pour $ \varepsilon > 0 $.

[Luckyos]

Un exercice que j'ai beaucoup aimé, il utilise un peu la notion de continuité en un point qui est HP en TS mais un rappel de la définition suffit pour résoudre cet exercice (qui ducoup, respecte les règles du fil).

Exercice 24 :

Rappel de la définition de la continuité :
Une fonction réelle est dite continue en un point $ x $ réel si pour tout $ \varepsilon>0 $, il existe $ \delta>0 $ tel que $ |x-y|<\delta\implies |f(x)-f(y)|< \varepsilon $

Soit $ f $ une fonction continue positive sur un intervalle $ [a,b] $. On notera M le maximum de $ f $ sur $ [a,b] $ et on supposera qu'il existe $ c\in ]a,b[ $ tel que $ f(c) = M $. Montrer

$$ \lim_{n\to+\infty} \left(\int_{a}^b f(t)^n dt\right)^\frac{1}{n} = M $$

Indication

SPOILER:

On pourra minorer l'intégrale en se limitant à un petit intervalle $ I $ contenant de $ c $ tel que pour tout $ x\in I $, $ f(x)\in ]M-\varepsilon, M] $ pour $ \varepsilon > 0 $.

Ca me semble pas évident si on a jamais manipulé des $\varepsilon$ ^^
C'est vraiment pas mal de réussir ça en TS, même en ayant fait le poly de LLG etc, c'est qu'en début/milieu de sup que j'ai commencé à voir ce type de raisonnement.

[Luckyos]

Un exo que j'avais été content de réussir il y a deux ans et qui utilise une méthode que vous verrez en milieu de sup (la question 1):

Exercice 25 :

1 (Comparaison série-intégrale). Soit $f$ une fonction continue et croissante de $\mathbb R _+$ dans $\mathbb R$. Encadrer $\sum_0^n f(k)$ à l'aide de $\int_0^n f(t)dt$.

2. Déterminer les triplets $(a,b,c) \in \mathbb N^3$ tels que $\frac{(\sum_0^n k^a)^b}{\sum_0^n k^c} \underset{n \rightarrow +\infty}{\rightarrow}1$

[Toz1]

Est ce que cette inéquation est admise , |a+b|<|a|+|b|. Ça me paraît logique, mais je ne sais pas si je peux l'utiliser.