Exercices de MPSI

[Samuel.A]

Je veux bien une indication oui alors si la réponse est autre !
Et tant qu'a faire un exemple d'ensemble A tel qu'il existe un polynôme vérifiant la propriété si possible

[Samuel.A]

Mais je comprends pas pourquoi ça ne te pause pas de problème l'argument apporté par Sayah, pour moi ceci prouve qu'un tel polynôme n'existe pas

[Nabuco]

C'est ce qu'il me semble aussi, on obtient facilement que $ P^2 =X^3 $ (infinité de racine toussa...), et ensuite on a un problème

Cela mène a rien ..... je peux donner des indications si besoin.

Une fois qu'on a ça on peut facilement conclure hein (juste en regardant les racines de P et multiplicité)

[Samuel.A]

Hein mais je comprends vraiment pas ou tu veux en venir gonnfricks !

P^2 est le polynôme X^3, ça c'est absurde car X^3 n'est pas un carré.

Et ton réel a ne peut pas exister puisque pour k assez grand P dérivé k fois est le polynôme nul alors que de l'autre côté de ton égalité ce terme n'est jamais nul pour k grand.

[Édit] (Ah ben tu as supprimé ton message apparemment..)

[darklol]

C'est ce qu'il me semble aussi, on obtient facilement que $ P^2 =X^3 $ (infinité de racine toussa...), et ensuite on a un problème

Cela mène a rien ..... je peux donner des indications si besoin.

Une fois qu'on a ça on peut facilement conclure hein (juste en regardant les racines de P et multiplicité)

Ou juste le degré.

[oty20]

@darklol , @nabuco oui tout a fait , @saysws n'avait indiquer qu'une infinité de racines comme argument...

Mince ce problème m'est parvenu via @gonfricks à la base il contenait $ \cos(x) $, au lieu de $ x^{\frac{3}{2}} $.

la résolution du premier exemple passe par montrer d'abord que $ A $ est bornée ce qui permet de construire un réel $ s $ tel que $ \forall k \in \mathbb{N} : P^{(k)}(s)=f^{(k)}(s) $ ce qui permettait de conclure .

je m’étais demandé que se passerait-il dans le cas où on arrivait plus à montrer $ A $ bornée , j'ai remarqué qu'on pouvait s'en sortir avec la borne sup ou borne inf , en effet si on écrit $ A=A^{+} \cup A^{-} $ ; $ A^{+}=\{ x\in A | x \geq 0\} $....

Alors au moins l'un des deux est infini, et on peut faire la construction ...

j'ai choisi $ f=x^{\frac{3}{2}} $ à la va vite .


@Samuel.A soulève une question intéressante , est que on peut trouver $ f \in C^{\infty} $ telle que $ A $ existe, il semblerait que une fois on a montrer l'existence de $ a $ qui ne dépend que de la structure de $ \mathbb{R} $ , à partir d'un certain rang on devrait avoir $ f^{(k)}(s)=0 $ pour tout $ k \geq deg(P)+1 $ un coup de taylor montre que $ f $ est polynomiale égale à P . Un tel $ A $ n'existe pas .

[gardener]

L'argument me paraît boiteux. Un exemple: la fonction nulle (polynomiale !) coïncide avec $ x\mapsto \sin(x)\sin(1/x) $ prolongée avec la valeur 0 en 0 sur une partie infinie de $ \mathbb{R} $. Par contre, on peut montrer ceci (mais on s'éloigne un peu du programme de MPSI) :

Enoncé: soit $ f $ une fonction développable en série entière en 0, de rayon de convergence infini, non polynomiale. On suppose que $ f $ est bornée sur $ \mathbb{R} $. Soit $ A\subset\mathbb{R} $ infinie. Alors tout polynôme $ P $ coïncidant avec $ f $ sur $ A $ ne peut être que le polynôme nul.

[saysws]

C'est ce qu'il me semble aussi, on obtient facilement que $ P^2 =X^3 $ (infinité de racine toussa...), et ensuite on a un problème

Cela mène a rien ..... je peux donner des indications si besoin.

@darklol , @nabuco oui tout a fait , @saysws n'avait indiquer qu'une infinité de racines comme argument...

Je n'essayais pas de résoudre ton exo, simplement de te montrer que ça ne marchait pas.
Et pour ma part je n'avais pas besoin d'arguments supplémentaires pour me convaincre que $ P^2 =X^3 $ était absurde.

Ne jamais proposer un exo que l'on n'a pas essayé soit même

[Nabuco]

Pour cos on a plus simple car cos2+sin2=1, on peut éviter le raisonnement complexe, ce qui donne en exprimant sin en fonction de P que P est constant.

[Samuel.A]

Soit P un tel polynôme, on le suppose non constant.
P est développable en série entière de rayon de convergence infini donc f-P également et s'annule sur A.
Puisque f est bornée et P non, f-P diverge vers + ou - l'infini en + et - l'infini et donc A est bornée.
A partir de là, puisque A est infinie et bornée on peut trouver a un point d'accumulation pour A.
Par continuité de f-P en a, f-P(a)=0

A partir de là on refait la démonstration du théorème des zéros isolés.

Petites remarques : Justement f est polynômiale au final puisque nécessairement nulle, et puis je n'ai pas réussi à prouver le résultat si l'on autorise P à être constant, et en fait j'ai trouvé un contre exemple, On prend pour f le cosinus et pour P le polynôme 1, ils coïncident sur une partie infinie de R.