DM Produit MPSI

[Booléen]

Bonjour, je suis bloqué à une question de mon DM de maths qui consiste à simplifier le produit suivant: $$ \prod_{k=1}^{n}(4k^2-1) $$
Si quelqu'un pouvait me donner une piste, cela me serait bien utile !

[JeanN]

Factorise 4k^2-1, écrit le produit avec des ... pour voir un peu ce qui se passe et multiplie et divise par le produit des entiers pairs pour faire apparaitre des factorielles.

[Booléen]

Je ne vois pas vraiment le lien avec le produit des entiers pairs, ni comment faire apparaître les factorielles...

[Tig la Pomme]

Cela peut valoir le coup de l'écrire avec des points de suspension pour mieux visualiser ce qui se passe.

[Booléen]

ça ne m'aide pas vraiment ...

[zede]

$$ (4k^2-1) = (2k-1)(2k+1) $$

C'est peut-être ainsi que vous trouverez un chemin. Bon courage !

(vu que j'ignore la suite de l'exercice, je ne peux pas vous aiguiller vers la forme définitive de votre produit, mais ceux qui sont plus expérimentés doivent sans doute voir où cette question mène.)

[JeanN]

Je ne vois pas vraiment le lien avec le produit des entiers pairs, ni comment faire apparaître les factorielles...

A peu de choses près, tu as le carré du produits des entiers impairs.
Si tu multiplies et divise par le carré du produits des entiers pairs, tu feras apparaitre une factorielle au numérateur et un produit des pairs au dénominateur.
Il te restera à factoriser chaque entier pair du produit des entiers pairs pour faire apparaitre une puissance de 2 et une factorielle au dénominateur.

Bon courage et n'hésite pas à demander directement à ton professeur car c'est plus facile à expliquer au tableau.

[Nicolas Patrois]

Dans le même genre (n⩾2) : $$ \prod_{k=2}^n \left(1-\frac{1}{k^2} \right) $$