Subtilité dans une démo sur les intégrales impropres ( Les Gourdons )

[haw7ski]

Bonjour,

Dans le corrigé d'un exo d'analyse des Gourdons, j'arrive pas à comprendre un truc :
Il dit que pour une fonction définie de $ f:\,]0,+\infty[\rightarrow \mathbb{R} $ continue par morceaux et décroissante, telle que $ \int_{0}^{+\infty }f(t)dt $ converge et est non nulle, alors : la fonction f tend vers 0 à l'infini et f est positive ! J'arrive pas à démontrer ces 2 points par les défintions... quelqu'un pour m'éclairer svp !

Mercii et bonne soirée.

[Nabuco]

Bonjour,

Dans le corrigé d'un exo d'analyse des Gourdons, j'arrive pas à comprendre un truc :
Il dit que pour une fonction définie de $ f:\,]0,+\infty[\rightarrow \mathbb{R} $ continue par morceaux et décroissante, telle que $ \int_{0}^{+\infty }f(t)dt $ converge et est non nulle, alors : la fonction f tend vers 0 à l'infini et f est positive ! J'arrive pas à démontrer ces 2 points par les défintions... quelqu'un pour m'éclairer svp !

Mercii et bonne soirée.

F étant décroissante elle converge dans R barre, et si tu regardes la limite elle ne peut que être nulle (éventuellement je peux détailler ce point mais ça se prouve facilement).

[haw7ski]

Hmm justement je vois pas pourquoi... j'aimerai bien plus de détail stp ! merciii

[Nabuco]

Si f converge vers une limite l >0 par décroissance f>=l donc l intégrale de 0 à x de f est supérieure à lx et tend vers l infini. Si elle converge vers - infini ou l <0 il existe epsilon entre 0 et la limite strictement, il existe A >0 tel que pour tout x>=A f(x)<eps donc l intégrale de A à x de f <= eps x et tend vers -infini

[JeanN]

Quel est cet exercice ? Quelle page ?
Es-tu sûr d'avoir parfaitement recopié l'énoncé (en particulier sur l'intervalle de définition) ?

[FromageBlanc]

Si je ne me trompe pas, la convergence de f vers 0 est une condition nécessaire (mais non suffisante) à la convergence de son intégrale.

[haw7ski]

Si je ne me trompe pas, la convergence de f vers 0 est une condition nécessaire (mais non suffisante) à la convergence de son intégrale.

Non pas forcément : contre-exemple $ f :\int_{1}^{+\infty }sin(t^{2})dt $ qui converge sans que l'intégrande tende vers 0. C'est la continuité uniforme de la fonction qui assure la convergence vers 0 .

[FromageBlanc]

Ahah oui exact !

[haw7ski]

Quel est cet exercice ? Quelle page ?
Es-tu sûr d'avoir parfaitement recopié l'énoncé (en particulier sur l'intervalle de définition) ?

Page 155 , exo 7.

[haw7ski]

Es-tu sûr d'avoir parfaitement recopié l'énoncé (en particulier sur l'intervalle de définition) ?

Ah oui, 0 est inclus dans l'intervalle de définition ( mais est-ce que ça change qq chose ? )