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par GaBuZoMeu » 20 janv. 2019 14:34
Au temps pour moi, le théorème d'approximation de Weierstrass figure dans le programme de MP - mais sans démonstration. Par ailleurs, même si le passage des polynômes à coefficients réels aux polynômes à coefficients rationnels n'est pas difficile, il demande tout de même un argument qui ne se résume pas à "$ \mathbb Q $ est dense dans $ \mathbb R $". Enfin, on n'a toujours rien vu du raccourci établissant le résultat annoncé spécifiquement pour les fonctions convexes.
Pour en finir avec cette histoire j'explicite, sous forme d'exercice aux questions faciles, une démonstration au ras des pâquerettes.
Soit $ f $ une fonction continue de $ [0,1] $ dans $ \mathbb R $, et soit $ \epsilon >0 $.
1°) Montrer que pour tout $ x\in [0,1] $ il existe des rationnels $ a,b,c,d $ vérifiant $ a<x<b $ et $ c<d<c+\epsilon $ tels que, pour tout $ y\in [a,b]\cap[0,1] $, $ f(y)\in {]c,d[} $.
On note $ U(a,b,c,d)=\{g\in C^0([0,1],\mathbb R)\mid \forall y \in [a,b]\cap[0,1]\ \ f(y)\in {]c,d[}\} $.
2°) Montrer qu'il existe une suite finie de quadruplets de rationnels $ \left((a_i,b_i,c_i,d_i)\right)_{i=1,\ldots,n} $ telle que $ a_i<b_i $ et $ c_i<d_i $ pour $ i=1,\ldots,n $, que $ f\in \bigcap_{i=1}^nU(a_i,b_i,c_i,d_i) $ et que, pour tout $ g\in \bigcap_{i=1}^nU(a_i,b_i,c_i,d_i) $ et tout $ y\in [0,1] $, $ \vert g(y)-f(y)\vert < \epsilon $.
Soit maintenant $ A $ une partie de $ C^0([0,1],\mathbb R) $ qui n'a pas de point d'accumulation pour la topologie de la convergence uniforme.
3°) Montrer que $ A $ est dénombrable (indication : on pourra définir une injection de $ A $ dans l'ensemble des suites finies de quadruplets de rationnels).
