Exos sympas MP(*)

[Nabuco]

Après il y a une vraie différence entre exos dont les connaissances sont niveau mp* et exo pour mp*. Ça c est vraiment pas dans l esprit mp* pour moi

[GaBuZoMeu]

@Nabuco : penses-tu que l'exercice tel que je l'ai formulé en trois questions dans ce message soit "dans l'esprit MP*" ? Il n'utilise que la définition de la continuité, Borel-Lebesgue pour [0,1], plus des notions sur la dénombrabilité.

[Nabuco]

1/ Après il y a une vraie différence entre exos dont les connaissances sont niveau mp* et exo pour mp*.

2/ Ça c est vraiment pas dans l esprit mp* pour moi

1/ Pourquoi ?

2/ Pourquoi ?

3/ Si l'esprit des exos de MP est autre chose que les exos de maths accessible en moins de 10 lignes à partir du programme de MP, il faut que tu me dises ce que c'est ?

En effet j'imagine la question ainsi :

$f$ une fonction de $[0,1]^2$ dans $\mathbb R$, tel que $\forall t \in [0,1], x\rightarrow f(t,x)$ continue.
Montrer qu'il existe une suite $(t_n)$ injective de $[0,1]$, convergeant vers $a \in [0,1]$ tel que $x\rightarrow f(t_n,x)$ converge uniformément vers $f(a,.)$

Alors je vais m expliquer. Diagonaliser une matrice 4*4 c est possible avec les outils du programme, pour autant y a pas bcp de gens qui ont déjà diagonalisé une matrife4 4 en prépa ? Parce que ce n est pas dans l esprit du programme de MP*. La topo aussi y a pleins de choses niveau prépa qui peuvent être faites qui ne sont pas pour autant dans l esprit du programme (qui déjà dans les faits se limite quasiment à la continuité d application linéaire pour les concours sauf x ens), mais des notions de separabilité ça c est très peu traité voire quasiment pas. Ici le problème en plus est que l argument majeur n est pas les polynômes à coefficients rationnels sont denses, mais de penser à prendre l espace produit R avec les fêtes continues et d utiliser son caractère séparable. Pour avoir été récemment en prépa et coller aussi, je peux dire que c est vraiment différent de ce qui est fait et demandé en prépa (ça ne signifie pas que le résultat est joli ou non faisable par un bon mp mais les réflexes demandés ne sont pas ceux dont ils auront besoin pour le graal qui est quand même les concours).
Même la deuxième version repose sur ce gros argument.

Aussi ce n est absolument pas la difficulté ou la longueur qui fait pour moi ce que je considère comme étant dans l esprit mp*, (un peu quand même mais pas de façon prioritaire), mais plus si c est dans l esprit de ce qui est attendu aux concours et dans le cours.

[Nabuco]

La topo aussi y a pleins de choses niveau prépa qui peuvent être faites qui ne sont pas pour autant dans l esprit du programme (qui déjà dans les faits se limite quasiment à la continuité d application linéaire pour les concours sauf x ens), mais des notions de separabilité ça c est très peu traité voire quasiment pas...

Justement par MP*, j'entends qui peut être proposé aux ENS ou à l'X.
Deplus la notion de séparabilité se décrit rapidement et simplement : "avec une partie dénombrable dense", ce qui n'est pas le cas de l'équicontinuité (Ascoli) qui peut pourtant tombé aux concours style ENS.

La separabilité non, et pour l equicontinuite il faut remettre ça dans son contexte souvent ce sont des versions plus faibles, plus ad hoc, typiquement le cas des fonctions k lipschitziennes. Là le cas spécifique est pas significativement plus simple. Après je ne dis pas que dans 5 ans ce ne seront pas des classiques les exos en prépa se renouvelant constamment, mais pour l instant ça me semble très loin de tout ce qui se fait.

[GaBuZoMeu]

Oui aux deux questions.

SPOILER:

Pour le a), on peut passer par le déterminant de Cayley-Menger, ou raisonner par récurrence, et pour le b) penser au simplexe régulier de dimension $n$.

En fait, $n+1$ points d'un espace affine euclidien ont leurs distances deux à deux égales si et seulement si ce sont les sommets d'un $n$-simplexe régulier. Ils engendrent alors un sous-espace affine de dimension $n$.

[oty20]

une nouvelle datte :

Soit $E$ un e.v euclidien de dim finie $n$ tel que $U=\{u_1,...,u_k\}\subset E$ et $\forall i\neq j \in \{1,...,k\}, ||u_i-u_j||=1$.
a/ A-t-on alors $n+1\geq k$ ?
b/ Si oui, la borne $n+1$ peut-elle être atteinte par $k$ ?

Succulente datte , pour chaque $ u\in U $ on lui associe le polynôme $ f_{u}(x)=||x-u||^{2}-1~~, x \in \mathbb{R}^{n} $, nous intuitons que la famille de polynômes $ (f_{u}(x))_{u\in U} $ est indépendantes.

En effet, supposons $ \sum _{u \in U} t_{u}f_{u}(x)= 0 $ comme pour tout $ v\in U , v \neq u : f_{u}(v)=0 $ il vient que

$ \sum_{u \in U} t_{u}f_{u}(v)=t_{v}f_{v}(v) $ et donc $ t_{v}=0 $, ce qui permet de conclure.

Pour conclure, nous aimerions majorer la dimension de l'espace vectoriel contenants les polynômes que nous avons défini.

Si on développe $ f_{u}(x)=||x-u||^{2}-1= \sum_{i=1}^{n} (x_{i}-u_{i})^{2} -1= \sum_{i=1}^{n} x_{i}^{2}-2\sum_{i=1}^{n} x_{i} u_{i}+\sum_{i=1}^{n} u_{i}^{2}-1 $ , la famille $ (1,x_{1},...,x_{n}) $ est génératrice de ces polynômes elle contient $ n+1 $ vecteur , par suite $ dim(vect\{f_{u}(x),~~u \in U\})\leq n+1 $ , ce qui permet de conclure que $ k \leq n+1 $ , sauf erreur .

[GaBuZoMeu]

Pas mal oty20, mais ça se gâte un peu à la fin : ta famille libre de $ k $ polynômes n'est pas contenue dans $ \mathrm{Vect}(1,x_1,\ldots,x_n) $ puisque ces polynômes sont de degré $ 2 $ ! Il faudrait au moins ajoute dans la liste génératrice $ \sum_{i=1}^n x_i^2 $, et alors on n'obtient que $ k\leq n+2 $.

[Siméon]

Esquisse pour le 949757 :

SPOILER:

En considérant la matrice de $ (u_2-u_1,\dots,u_k-u_1) $ dans une base orthonormale fixée, ceci se ramène à l'existence de $ M \in \mathcal M_{n,k-1}(\mathbb R) $ telle que ${}^tMM = G$ avec pour tous $(i,j) \in [\![1,k-1]\!]^2$, $G_{i,i} = 1$ et $G_{i,j} = \frac12$ si $i \neq j$. Cette matrice $G$ est symétrique et définie positive (ses valeurs propres sont $\frac k2$ avec multiplicité $1$ et $\frac12$ avec multiplicité $k-2$). Donc nécessairement $k-1 \leqslant \mathrm{rg}(M) \leqslant n$, et l'existence de $M$ pour $k = n + 1$ équivaut à l'existence d'une base orthonormale pour le produit scalaire associé à $G$.

[oty20]

Pas mal oty20, mais ça se gâte un peu à la fin : ta famille libre de $ k $ polynômes n'est pas contenue dans $ \mathrm{Vect}(1,x_1,\ldots,x_n) $ puisque ces polynômes sont de degré $ 2 $ ! Il faudrait au moins ajoute dans la liste génératrice $ \sum_{i=1}^n x_i^2 $, et alors on n'obtient que $ k\leq n+2 $.

Merci Cher @GaBuzoMeu , $ \sum_{i=1}^{n} x_{i}^{2} $ vous avez entièrement raison j'ai rédigé à 7h du matin....

Dommage

[oty20]

Pas mal oty20, mais ça se gâte un peu à la fin : ta famille libre de $ k $ polynômes n'est pas contenue dans $ \mathrm{Vect}(1,x_1,\ldots,x_n) $ puisque ces polynômes sont de degré $ 2 $ ! Il faudrait au moins ajoute dans la liste génératrice $ \sum_{i=1}^n x_i^2 $, et alors on n'obtient que $ k\leq n+2 $.

Peut être que nous pouvons tout de même conclure si on pouvait montrer que $ dim (vect(f_{u}(x), u \in U) < n+2 $ , supposons par l'absurde que

$ (f_{u}(x))_{u \in U} $ est une base de l'espace vectoriel des polynômes formés par combinaison linéaire des listes$ H=\{ \sum_{i=1}^{n} x_{i}^{2}, x_{i}, 1 | i \in [[1,n]]\} $ et essayer d'exhiber un polynôme qui ne puisse pas être écrit comme combinaison linéaire des $ f_{u}(x) $