Un fermé $F$ dénombrable de $\mathbb{R}$ s'écrit sous la forme $F= \{ f_p, ... , f_{-1}, f_0, f_1, ... , f_q\}$ avec $...< f_{-1} < f_0 < f_1 < ...$ et $p,q\in\mathbb{Z}\cup\{ \pm \infty\}$.
Alors $\overline{F}$ est une union d'intervalles ouverts i.e $\overline{F} = \displaystyle\bigcup_{i = p}^{q-1} ]f_{i}, f_{i+1}[$.
$f$ est localement constante sur chacun de ces intevalles donc elle est constante sur chaque intervalle $]f_{i}, f_{i+1}[$. Disons $\forall x\in\overline{F}, f(x) = k$.
Comme $f$ est continue sur $\mathbb{R}$, alors $\forall i \in [| p,q |],\displaystyle\lim_{x\rightarrow f_i} f(x) = k = f_{f_i}$.
Donc $f$ est contante.
Un fermé $F$ dénombrable de $\mathbb{R}$ s'écrit sous la forme $F= \{ f_p, ... , f_{-1}, f_0, f_1, ... , f_q\}$ avec $...< f_{-1} < f_0 < f_1 < ...$ et $p,q\in\mathbb{Z}\cup\{ \pm \infty\}$.
Alors $\overline{F}$ est une union d'intervalles ouverts i.e $\overline{F} = \displaystyle\bigcup_{i = p}^{q-1} ]f_{i}, f_{i+1}[$.
$f$ est localement constante sur chacun de ces intevalles donc elle est constante sur chaque intervalle $]f_{i}, f_{i+1}[$. Disons $\forall x\in\overline{F}, f(x) = k$.
Comme $f$ est continue sur $\mathbb{R}$, alors $\forall i \in [| p,q |],\displaystyle\lim_{x\rightarrow f_i} f(x) = k = f_{f_i}$.
Donc $f$ est contante.
Un fermé dénombrable n a aucune raison d être sous cette forme. Typiquement prend F composé de 0 1 et les +- 1/2^n et les 1+-1/2^n pour n dans N
Déjà,
On notera F le fermé dénombrable de R en question.
Étant dénombrable, E\F est connexe par arcs (exo classique). Ainsi, f est localement constante sur E\F qui est un ouvert connexe par arcs
On prend a dans f(E\F).
f étant localement constante sur E\F, f-1({a}) est ouvert. De plus, f-1({a}) est fermé comme image réciproque continue d'un fermé.
Ainsi, f-1({a}) est R tout entier puisque c'est une partie ouverte et fermée.
Qui est E ici ? Si c est R ce n est absolument pas connexe par arcs.
C'est beaucoup plus compliqué. On a facilement que $ \mathbb{R}\setminus F $ est un ouvert de $ \mathbb{R} $ et donc une union dénombrable d'intervalles disjoints, ie,
$$ \mathbb{R}\setminus F=\bigcup_{i=1}^{+\infty}I_i $$ où les $ I_i $ sont des intervalles disjoints. Comme $ f $ est localement constante sur $ \mathbb{R}\setminus F $, $ f $ est constante sur chaque intervalle $ I_i $.
Mais le plus dur reste à faire. On souhaite utiliser la continuité de $ f $ sur $ \mathbb{R} $. Mais on ne peut pas l'utiliser facilement si $ F $ est compliqué.
Que fait-on dans les cas suivants ?
$$
F=\{0\}\cup\bigcup_{k=1}^{+\infty}\left\{\frac{1}{k}\right\}.
$$
ou si
$$
F=\{0\}\cup\bigcup_{k=1}^{+\infty}\left(\left\{\frac{1}{k}\right\}\cup\bigcup_{\ell=k+1}^{+\infty}\left\{\frac{1}{k}+\frac{1}{\ell^2}\right\}\right).
$$
et on peut rendre $ F $ encore plus compliqué.
Ancien ENS Cachan (maths) 1999--2003
Enseignant-Chercheur à l'Enseirb-Matmeca (Bordeaux INP) filière matmeca
Les opinions exprimées ci-dessus sont miennes et ne reflètent pas la position officielle de l'école dans laquelle j'enseigne.
Il me semble que la conclusion reste la même si on suppose notre ensemble de départ $ F $ est uniquement dénombrable et non pas fermé et dénombrable : on pourra réfléchir au cas $ F=\mathbb{Q} $ par exemple.
Il me semble que la conclusion reste la même si on suppose notre ensemble de départ $ F $ est uniquement dénombrable et non pas fermé et dénombrable : on pourra réfléchir au cas $ F=\mathbb{Q} $ par exemple.
Montrer que l un implique l autre n est pas très dur en effet si f est continue sur R et localement constante sur le complémentaire d un ensemble au plus dénombrable A l ensemble des points sur lequel f est localement constante est ouvert et contient A car si f est constante sur un intervalle ouvert intersecté avec A elle est constante sur l intervalle ouvert tout court. On a donc f localement constante sur un ouvert de complémentaire au plus dénombrable
Soit f une fonction continue de R dans R , localement constante sur le complémentaire dans R d'un fermé dénombrable. Montrer que f est constante.
Voici deux indices. Ensemble, ils donnent la solution. Ce sera plus facile de résoudre à partir de seulement l'indice 1. L'indice 2, pris seul, apparaîtra comme très cryptique.
Indice 1:
SPOILER:
Montrez que l'image de $ \mathbb{R} $ par $ f $, noté $ f(\mathbb{R}) $ est de cardinal au plus dénombrable.
Indice 2
SPOILER:
Utilisez le théorème des valeurs intermédiaires.
Ancien ENS Cachan (maths) 1999--2003
Enseignant-Chercheur à l'Enseirb-Matmeca (Bordeaux INP) filière matmeca
Les opinions exprimées ci-dessus sont miennes et ne reflètent pas la position officielle de l'école dans laquelle j'enseigne.
