Exos sympas MP(*)

[Errys]

Deux autres exos sympa sur les permutations :
1) Trouver le nombre minimal de transpositions qui engendrent $ S_n $
2) Montrer qu'il n'existe pas de morphisme injectif de $ S_n $ dans $ A_{n+1} $.

[btsix]

Soient $(a,b)\in\mathbb{R}^2$ et $\lambda\in [0,1]$.
Le polynôme $P=X^3+(a-b)X^2-(1+ab)X+\lambda (a+b)-a$ est-il scindé sur $\mathbb{R}$ ?

Ce problème est mignon...

SPOILER:

Il suffit de calculer $ P(-a) $ et $ P(b) $ et de discuter selon le signe de $ a+b $

Sympathique !
Solution encore plus courte :

SPOILER:

P est le polynôme caractéristique de la matrice symétrique réelle $ \begin{pmatrix} 0 & \sqrt{1-\lambda} & \sqrt{\lambda} \\ \sqrt{1-\lambda} & -b & 0 \\ \sqrt{\lambda} & 0 & a \end{pmatrix} $.

[dSP]

Cet exercice est lié à un énoncé classique de localisation des racines.

SPOILER:

Etant donné deux complexes $c$ et $d$ et un polynôme non constant $P$, pour n'importe quel élément $z$ de $[c,d]$
tout antécédent de $z$ par $P$ est dans l'enveloppe convexe de la réunion $P^{-1}\{c\} \cup P^{-1}\{d\}$.

En particulier, étant donné $P$ non constant à coefficients réels, l'ensemble des réels $y$ pour lesquels $P$
est scindé sur $\mathbb{R}$ est un intervalle.

Le lien avec l'exercice : l'énoncé ci-dessus permet de voir qu'il suffit de vérifier que $P$ est scindé sur $\mathbb{R}$ lorsque $\lambda$ vaut $0$ ou $1$. Dans chacun de ces cas, il y a une racine assez évidente...

[Varzmir]

C'est peut-être un repost, mais bon
Un exo (+problème ouvert) sympa qui essaie de généraliser Cantor-Bernstein :
Soient G, G' des groupes tels qu'il existe un morphisme injectif de G dans G' et un autre de G' dans G.
G et G' sont-ils isomorphes ?
Même question avec des anneaux.
Même question avec des corps commutatifs.

[Nabuco]

C'est peut-être un repost, mais bon
Un exo (+problème ouvert) sympa qui essaie de généraliser Cantor-Bernstein :
Soient G, G' des groupes tels qu'il existe un morphisme injectif de G dans G' et un autre de G' dans G.
G et G' sont-ils isomorphes ?
Même question avec des anneaux.
Même question avec des corps commutatifs.

Juste peut être préciser quelles questions sont ouvertes ou non que ceux qui veulent avoir qqch de faisable puisse s y atteler.

[Varzmir]

C'est peut-être un repost, mais bon
Un exo (+problème ouvert) sympa qui essaie de généraliser Cantor-Bernstein :
Soient G, G' des groupes tels qu'il existe un morphisme injectif de G dans G' et un autre de G' dans G.
G et G' sont-ils isomorphes ?
Même question avec des anneaux.
Même question avec des corps commutatifs.

Juste peut être préciser quelles questions sont ouvertes ou non que ceux qui veulent avoir qqch de faisable puisse s y atteler.

Oui bien vu ! La question ouverte (enfin, je n'ai pas la réponse en tout cas) est celle pour les corps.

[Errys]

Soit A un anneau de Boole fini ($ x^2 = x $ pour tout $ x $ de A). Montrer qu'il existe n tel que A soit isomorphe à l'anneau $ (Z/2Z)^n $

[dSP]

Pour le cas des groupes, un exemple qui me semble davantage dans l'esprit du programme de MP.

SPOILER:

Pour un ensemble $ X $, on note $ \mathfrak{S}_f(X) $ le groupe des permutations de $ X $ à support fini (c'est-à-dire, dont l'ensemble des points non-fixes est fini). Lorsque $ X $ et $ Y $ sont deux ensembles en bijection, les groupes $ \mathfrak{S}_f(X) $ et $ \mathfrak{S}_f(Y) $ sont isomorphes.

On construit un morphisme ``signature" $ \epsilon : \mathfrak{S}_f(X)\rightarrow \{1,-1\} $ de telle sorte que pour toute partie finie $ I $ de $ X $ et toute permutation $ \sigma \in \mathfrak{S}_f(X) $ fixant tout élément de $ X \setminus I $, la quantité $ \epsilon(\sigma) $ soit la signature de la permutation de $ I $ induite par $ \sigma $.

On définit enfin $ \mathfrak{A}_f(X) $ comme le noyau de la signature. On démontre que $ \mathfrak{A}_f(X) $ est engendré par les trois-cycles de $ \mathfrak{S}_f(X) $. On en déduit facilement que tout morphisme de $ \mathfrak{A}_f(X) $ dans $ \{1,-1\} $ est trivial. Par suite, $ \mathfrak{A}_f(X) $ n'est pas isomorphe à $ \mathfrak{S}_f(X) $.

Supposons maintenant $ X $ infini, choisissons-en deux éléments distincts $ a $ et $ b $ et posons $ Y \setminus \{a,b\} $. On construit un morphisme injectif de $ \mathfrak{S}_f(Y) \hookrightarrow \mathfrak{A}_f(X) $ comme suit : on associe à toute permutation $ \sigma \in \mathfrak{S}_f(Y) $ la permutation de $ X $ qui la prolonge et fixe $ a $ et $ b $ si $ \epsilon(\sigma)=1 $, les échange sinon.

En particulier, on obtient un morphisme injectif de $ \mathfrak{S}_f(\mathbb{N} \setminus \{0,1\}) $ dans $ \mathfrak{A}_f(\mathbb{N}) $. Comme $ \mathfrak{S}_f(\mathbb{N} \setminus \{0,1\}) $ est isomorphe à $ \mathfrak{S}_f(\mathbb{N}) $, on obtient un morphisme injectif de $ \mathfrak{S}_f(\mathbb{N}) $ dans $ \mathfrak{A}_f(\mathbb{N}) $. Or l'inclusion donne un morphisme injectif dans l'autre sens, et ces deux groupes ne sont pas isomorphes.

[Varzmir]

Pour le cas des groupes, un exemple qui me semble davantage dans l'esprit du programme de MP.

SPOILER:

Pour un ensemble $ X $, on note $ \mathfrak{S}_f(X) $ le groupe des permutations de $ X $ à support fini (c'est-à-dire, dont l'ensemble des points non-fixes est fini). Lorsque $ X $ et $ Y $ sont deux ensembles en bijection, les groupes $ \mathfrak{S}_f(X) $ et $ \mathfrak{S}_f(Y) $ sont isomorphes.

On construit un morphisme ``signature" $ \epsilon : \mathfrak{S}_f(X)\rightarrow \{1,-1\} $ de telle sorte que pour toute partie finie $ I $ de $ X $ et toute permutation $ \sigma \in \mathfrak{S}_f(X) $ fixant tout élément de $ X \setminus I $, la quantité $ \epsilon(\sigma) $ soit la signature de la permutation de $ I $ induite par $ \sigma $.

On définit enfin $ \mathfrak{A}_f(X) $ comme le noyau de la signature. On démontre que $ \mathfrak{A}_f(X) $ est engendré par les trois-cycles de $ \mathfrak{S}_f(X) $. On en déduit facilement que tout morphisme de $ \mathfrak{A}_f(X) $ dans $ \{1,-1\} $ est trivial. Par suite, $ \mathfrak{A}_f(X) $ n'est pas isomorphe à $ \mathfrak{S}_f(X) $.

Supposons maintenant $ X $ infini, choisissons-en deux éléments distincts $ a $ et $ b $ et posons $ Y \setminus \{a,b\} $. On construit un morphisme injectif de $ \mathfrak{S}_f(Y) \hookrightarrow \mathfrak{A}_f(X) $ comme suit : on associe à toute permutation $ \sigma \in \mathfrak{S}_f(Y) $ la permutation de $ X $ qui la prolonge et fixe $ a $ et $ b $ si $ \epsilon(\sigma)=1 $, les échange sinon.

En particulier, on obtient un morphisme injectif de $ \mathfrak{S}_f(\mathbb{N} \setminus \{0,1\}) $ dans $ \mathfrak{A}_f(\mathbb{N}) $. Comme $ \mathfrak{S}_f(\mathbb{N} \setminus \{0,1\}) $ est isomorphe à $ \mathfrak{S}_f(\mathbb{N}) $, on obtient un morphisme injectif de $ \mathfrak{S}_f(\mathbb{N}) $ dans $ \mathfrak{A}_f(\mathbb{N}) $. Or l'inclusion donne un morphisme injectif dans l'autre sens, et ces deux groupes ne sont pas isomorphes.

Magnifique ! J'avais essayé le même type de construction quand j'avais cherché mais je n'étais pas arrivé à montrer le non-isomorphisme entre le groupe alterné "infini" et le groupe symétrique...
Une autre solution pour la route :

SPOILER:

On prend $ \mathbb{Q}[X]->\mathbb{Q}[X] \times \mathbb{Z} $ qui à P associe (P,0)

et $ \rho : (P, n) \longrightarrow XP + n $ qui sont bien deux morphismes de groupes additifs injectifs.
$ \mathbb{Q}[X] $ est divisible (tout élement x s'écrit sous la forme k*y pour tout k dans N) alors que $ \mathbb{Q}[X] \times \mathbb{Z} $ ne l'est pas. Ils ne sont donc pas isomorphes.

[V@J]

Une autre solution pour la route :

SPOILER:

On prend $ \mathbb{Q}[X]->\mathbb{Q}[X] \times \mathbb{Z} $ qui à P associe (P,0)

et $ \rho : (P, n) \longrightarrow XP + n $ qui sont bien deux morphismes de groupes additifs injectifs.
$ \mathbb{Q}[X] $ est divisible (tout élement x s'écrit sous la forme k*y pour tout k dans N) alors que $ \mathbb{Q}[X] \times \mathbb{Z} $ ne l'est pas. Ils ne sont donc pas isomorphes.

[Commentaire à côté de la plaque]