Exo X ( suite )

[Laotseu]

Bonjour à tous. Je pense que l'énoncé est faux. Comme il est vrai dès que $$u_n$$ est croissante, les contre-exemples sont difficiles à trouver.

Voici la construction d'un contre-exemple lorsque j'autorise $$u_n$$ à être juste positive (en rajoutant $$ 1/n^2 $$ on obtiendra le contre-exemple recherché). Je note $$ S_n=\sum_{k\leq n}u_k , \quad T_n=\sum_{k\leq n}ku_k $$

Je construis itérativement $$ u_n $$ en fixant $$ u_0=u_1=0 $$ puis par l'algorithme suivant :

- cas 1 : si $$ S_{n-1}/(n-1)\geq \ln(n-1) $$ alors je pose $$ u_n=0 $$
- cas 2 : si $$ S_{n-1}/(n-1)< \ln(n-1) $$ alors je prends $$ u_n $$ suffisamment grand pour que $$ S_n/n=n $$

Je vous laisse vérifier qu'on obtient une infinité de n pour lesquels on est dans le cas 2. Considérons une énumération $ \varphi $ croissante de ces termes. On a alors $$ \frac{S_{\varphi(n)-2}}{\varphi(n)-2}\geq \ln(\varphi(n)-2),\quad
\frac{S_{\varphi(n)-1}}{\varphi(n)-1}\geq \frac{\varphi(n)-2}{\varphi(n)-1}\ln(\varphi(n)-2), \quad
\frac{S_{\varphi(n)}}{\varphi(n)}=\varphi(n)^2 $$
Ce qui permet de prouver que pour tout $$ n, \ \frac{S_n}{n}\geq \frac{n-1}{n}\ln(n) $$ et donc que $$ \frac{S_n}{n} $$ tend vers l'infini.

Fixons $$ n $$ et prenons $$ k $$ tel que $$ \varphi(n)\leq k<\varphi(n+1) $$. On a alors $$ S_k=S_{\varphi(n)}=\varphi(n)^2 $$ et $$ T_k\leq \varphi(n)^3 $$. Ainsi $$ \frac{T_{\varphi(n+1)-1}}{(\varphi(n+1)-1)^2}\leq \frac{\varphi(n)^3}{(\varphi(n+1)-1)^2}=:v_n $$
Or par construction de $$ \varphi(n) $$ on a $$ \frac{\varphi(n)^2}{\varphi(n+1)}\sim \ln \varphi(n+1) $$. Ainsi
$$ v_n\sim \frac{\varphi(n)^3}{\varphi(n+1)^2}\sim \frac{\ln^2 \varphi(n+1)}{\varphi(n)} $$
Mais comme $$ \varphi(n+1)\leq \varphi(n)^2 $$, on a un contrôle asymptotique $$ v_n \leq \frac{4\ln^2\varphi(n)}{\varphi(n)}\to 0, $$
ce qui contredit la possibilité que $$ \frac{T_n}{n^2}\to +\infty $$.

Comme cette construction est un peu technique, je laisse qui veut la vérifier ...

[prepamath]

Bonjour, belle construction! mais je ne vois pas pourquoi on aurait $$ \frac{\varphi(n)^2}{\varphi(n+1)} \sim \ln(\varphi(n+1)) $$ ?

[Laotseu]

Parce que $ \varphi(n+1) $ est (à 1 près) la première valeur de k telle que $$ \frac{\varphi(n)^2}{k}\leq ln(k) $$ et comme la suite (de l'indice k) $$ \frac{\varphi(n)^2}{k\ln k} $$ décroît lentement, on a quasiment égalité pour cette valeur de k.

On peut préciser ça par un encadrement, mais l'idée est là.

[JeanN]

D'où vient cet énoncé ?
J'ai l'impression de l'avoir déjà croisé par ailleurs.

[prepamath]

Merci beaucoup Laotseu !
@JeanN, il vient d'une banque d'exercice de ma prépa ( construite à partir de retours d'élèves )

[oty20]

Parce que $ \varphi(n+1) $ est (à 1 près) la première valeur de k telle que $$ \frac{\varphi(n)^2}{k}\leq ln(k) $$ et comme la suite (de l'indice k) $$ \frac{\varphi(n)^2}{k\ln k} $$ décroît lentement, on a quasiment égalité pour cette valeur de k.

On peut préciser ça par un encadrement, mais l'idée est là.

Dans ce cas ou se situe l'erreur dans la démonstration présentée par @BobbyJoe, c'est vrai que je me demandais pourquoi en travaillant avec le formalisme intégrale on contourne ce problème d'étude du comportement $\sum \frac{s_{k}}{n^{2}}$.

D'où vient cet énoncé ?
J'ai l'impression de l'avoir déjà croisé par ailleurs.

Oui moi aussi, j'avais l'impression d'avoir eu cet exercice dans un cadre plus générale en colle , c'était $V_{n}=\sum_{k=1}^{n} \frac{k^{a}u_{k}}{n^{a+1}}$ je me suis rappelé qu'en utilisant $\frac{1}{n^{a+1}}\sim \frac{1}{n^{a}}-\frac{1}{(n+1)^{a+1}}$ permettait de s'en sortir.

Mais apriori il s'agissait pas de la même question, ce ''trick'' aide si on devait sommer ensuite, soit étudier la série des $V_{n}$, ce qui n'est pas le cas ici.

[JeanN]

BobbyJoe donne la réponse dans le cas d'une limite finie pour la suite des moyennes de Césaro

[Laotseu]

Dans l'exemple que j'ai construit, justement $B_n$ est souvent négatif...

[Nabuco]

Dans l'exemple que j'ai construit, justement $B_n$ est souvent négatif...

C'est possible de mettre ton premier post juste en Tex et pas la moitié des formules ? Là c'est vraiment pénible à relire...

[oty20]

@Nabuco je pense que c'est malheureusement un problème d'affichage, par exemple pour ma part je ne vois que le signe ''S' avec du texte dans le poste de @JeanN et que deux ligne en latex dans le post de @Bobbyjoe. Je pense que le problème est liée à l'utilisation du signe ''S'' pour la balise latex, avec ''SS'' cela semble marché sans problème d'affichage.