SPOILER:
Soit $A$ le nombre recherché. On considère le polynôme $P(X)=\prod _{i=1} ^{20} (1+X^i)$. En développant le polynôme on peut montrer que le coefficient en $X^m$ du polynôme est exactement le nombre de sous-ensembles non vides des entiers entre $1$ et $20$ dont la somme des éléments vaut $m$. Il s'agit donc de calculer la somme des coefficients devant les monômes $X^k$ de notre polynôme $P$ où $k$ est un entier divisible par $5$. Soit $\omega$ une racine $5$-ième de l'unité. Puisque $\omega ^ 5 = 1$ et que $\sum _{i=1} ^5 \omega ^ i = 0$ on peut en déduire que le nombre recherché est $A=\frac{1}{5} \sum _{i=1} ^5 P(\omega ^ i)$. Il s'agit donc de calculer cette somme. Notons $Q$ le polynôme tel que $Q(x)=X^5-1$. On a $Q(x)=\prod _{i=1} ^5 (X - \omega ^ i)$ (en effet les racines de $Q$ sont exactement les racines $5$-ième de l'unité avec une multiplicité de $1$). On a aussi $P(\omega ^ i) = (\prod_{i=1} ^5 (1+\omega ^ i)) ^ {\frac{20}{5}} = Q(-1) ^ 4 = 16$ dans le cas où $\omega$ est une racine 5ème primitive de l'unité ce qui correspond exactement à $\omega \ne 1$. Dans le cas où $\omega=1$ on a $P(1)=2^{20}$. Ainsi on a finalement $A=\frac{1}{5}(4*16+2^{20})=2^6*\frac{1+2^{14}}{5}$
