Il n'y a pas de contre-exemple à ton problème mais je ne connais pas de preuve qui soit contenue dans le programme de classe prépa (j'ai utilisé certains résultats "classiques" de topologie pour uniformiser le problème).
1) Soit $ $C>0.$ $
On introduit pour $N\in \mathbb{N},$ l'ensemble $$A_{N}=\{x\in \mathbb{R}\mbox{ }|\mbox{ } \forall l\geq N, \vert \sum_{k\geq l+1}f^{(k)}(x)\vert \leq C\}.$$
On remarque que $A_{N}$ est un fermé de $\mathbb{R}$ (utilise le fait suivant : $\forall l\geq N, \sum_{k=0}^{l}f^{(k)}(x)=-\sum_{k\geq l+1}f^{(k)}(x)$).
Or, par hypothèse, $\bigcup_{N\geq 0}A_{N}=\mathbb{R}.$ Ainsi, par le théorème de Baire (
https://fr.wikipedia.org/wiki/Th%C3%A9o ... e_de_Baire), il existe un certain $N_{0}\in\mathbb{N}$ tel que $A_{N_{0}}$ soit d'intérieur non vide.
Quitte à translater, on peut supposer que $A_{N_{0}}$ contient un segment du type $[-\varepsilon,\varepsilon].$
2) Soit $x\in [-\varepsilon,\varepsilon].$
Par hypothèse, la série de fonctions $\sum_{k\geq 0}f^{(k)}$ , qui est uniformément bornée sur $[-\varepsilon,\varepsilon]$, converge simplement (vers $0$) sur ce même ensemble. On peut alors, en utilisant appliquant le théorème de convergence dominée, intégrer terme à terme la série pour avoir :
$$0=\int_{-\varepsilon}^{x}\left(\sum_{k\geq 0}f^{(k)}(t)\right)dt=\int_{-\varepsilon}^{x}f(t)dt+\sum_{k\geq0}\left(f^{(k)}(x)-f^{(k)}(-\varepsilon)\right)=\int_{-\varepsilon}^{x}f(t)dt.$$
Ainsi, en dérivant, $f$ est nulle sur $[-\varepsilon,\varepsilon].$
3) Une application itérée du théorème de Baire permet alors de montrer que $f$ est nulle sur un ensemble dense (et même un ouvert dense) de $\mathbb{R}$ (par le deuxième point).
Ainsi, par continuité, $f$ est nulle sur $\mathbb{R}.$
C'est très joli en plus!