Une inégalité intégrale

[Jeanlouis92]

Bonjour je sèche sur cet exercice
Soit f une fonction c1 a<b deux réels positifs et f(a)=0
Il s’agit de montrer l’inégalité suivante
Intégrale de a à b de |f*f’|=< 0.5*(b-a)*integrale de a à b de (f’)^2
Je vous remercie

[LapinouX]

Salut, j'ai une solution pour $ b-a \geqslant \sqrt{2} $ mais pas dans le cas général.

Edit : faux en fait

[JeanN]

Et moi j'ai une solution avec 1/sqrt(2) à la place de 0.5.
Ne manque-t-il pas l'hypothèse f(b)=0 (avec laquelle on peut obtenir une meilleure constante d'ailleurs...) ?

Edit : $x\to x-a$ est un cas d'égalité. Peut-être que l'énoncé est correct après tout mais il faut de la finesse dans les majorations !

Edit 2 : J'ai trouvé
Déjà, on se ramène au cas a=0 et b=1 par changement de variable affine.
Pour traiter ce cas particulier:
Démarrer par le seul Cauchy Schwarz qui respecte le cas d'égalité sus-mentionné.
Ensuite, utiliser la majoration de $f(x)^2$ par $x*\int_0^x f'(t)^2 dt$ (qui respecte encore le cas d'égalité)
Après c'est presque fini à une IPP et une dernière majoration près.

[JeanN]

Salut, j'ai une solution pour $ b-a \geqslant \sqrt{2} $ mais pas dans le cas général.

Dans ce cas, tu as une solution générale.
Par exemple, tu peux passer de a=0, b=1 à a=0 et b=2 avec un changement de variable linéaire.
Du coup, j'ai quelques doutes sur ta solution

[LapinouX]

.

[LapinouX]

J'ai trouvé autre chose mais avec (b-a)/sqrt(2) au lieu de /2 ...

[LapinouX]

Ma première preuve avec b-a > sqrt2 est fausse

[JeanN]

J'ai trouvé autre chose mais avec (b-a)/sqrt(2) au lieu de /2 ...

Sauf que tu devrais constater rapidement que ta première majoration par Cauchy-Schwarz ne respecte pas le cas d'égalité et est donc trop violente

[LapinouX]

Effectivement j’ai trouvé maintenant en suivant votre indication, merci, pas évident cet exo ...

[oty20]

La condition $f(a)=f(b)=0$ fait gagner un autre $\frac{1}{2}$. En effet, on pose $c=\frac{a+b}{2}$:


$$
\int_{a}^{b}\left|f(x) f^{\prime}(x)\right| d x=\int_{a}^{c}\left|f(x) f^{\prime}(x)\right| d x+\int_{c}^{b}\left|f(x) f^{\prime}(x)\right| d x \\
=\int_{a}^{c}\left|\int_{a}^{x} f^{\prime}(t) d t\right|\left|f^{\prime}(x)\right| d x+\int_{c}^{b}\left|\int_{x}^{b} f^{\prime}(t) d t\right|\left|f^{\prime}(x)\right| d x$$

$$\\~~\leq \int_{a}^{c}\left(\int_{a}^{x}\left|f^{\prime}(t)\right| d t\right)\left|f^{\prime}(x)\right| d x+\int_{c}^{b}\left(\int_{x}^{b}\left|f^{\prime}(t)\right| d t\right)\left|f^{\prime}(x)\right| d x \\
\quad=\frac{1}{2}\left(\int_{a}^{c}\left|f^{\prime}(t)\right| d t\right)^{2}+\frac{1}{2}\left(\int_{c}^{b}\left|f^{\prime}(t)\right| d t\right)^{2}
$$

Un coup de CS :

$$\\~~~ \leq \frac{c-a}{2} \int_{a}^{c}\left(f^{\prime}(t)\right)^{2} d t+\frac{b-c}{2} \int_{c}^{b}\left(f^{\prime}(t))^{2} d t\right. = =\frac{b-a}{4} \int_{a}^{b}\left(f^{\prime}(t))^{2} d t\right.$$