vitesse angulaire de rotation

[Brahim1]

Salut tout le monde,
S'il vous plait j'ai besoin d'aide dans cette question (extrait Mines MP 2014):
"Considérons un tore de section rectangulaire en rotation autour d'un arbre cylindrique fixe et vertical, d'axe (O,z) et de rayon r, dans le référentiel terrestre supposé galiléen R .on note ∆=(G,z) l'axe de symétrie du tore, qui reste parallèle à (O,z). On note J le moment d'inertie du tore par rapport à (G,z), et M sa masse.

Le contact entre la paroi intérieure du tore et le cylindre vertical se
répartit sur un segment vertical dont on note I le milieu. Il y a roulement sans glissement entre les deux solides. On note f le coefficient de frottement statique au niveau de ce contact. Ω est le vecteur vitesse angulaire de rotation du tore autour de son axe ∆. La position de G est repérée par l'angle θ.

Question :Établir la relation entre Établir la relation entre θ et Q associée a l'hypothèse de roulement
schéma :


voici un extrait de la réponse :
https://imagizer.imageshack.com/img922/5909/Hxuvxd.jpg
Ce que je n'ai pas compris, c'est que d'après l'énoncé, Ω est le vecteur vitesse angulaire de rotation du tore autour de son axe ∆et non pas autour de l'arbre cylindrique fixe dans R ! , et puisque l'axe ∆ est aussi en mouvement dans R, la vitesse de rotation du tore autour de l'arbre est : la vitesse de rotation du tore autour de ∆ + la vitesse de rotation du ∆ autour de R, c'est à dire: Ω + θ' , donc on peut pas écrire : https://imagizer.imageshack.com/img923/5809/t1iIpN.png
on doit plutot écrire :
https://imagizer.imageshack.com/img923/5319/UgjLvP.png

J'ai vraiment chercher a comprendre pourquoi mais je n'arrive pas.
Merci infiniment vos efforts.

[Kieffer Jean]

En se plaçant dans le référentiel fixe,
à mon avis tu dois écrire la condition de non-glissement
$ \vec{v}_{I\in \textrm{arbre}}=\vec{0}=\vec{v}_{I\in \textrm{tore}}=\vec{v}(I) $

par ailleurs on sait que par définition
$ \vec{v}(G)=(a-r)\dot{\theta}\vec{e_{\theta}} $

enfin il reste à appliquer la formule du torseur des vitesses ...
$ \vec{v}(I)=\vec{v}(I)+\vec{IG}\wedge\vec{\Omega}=(a-r)\dot{\theta}\vec{e_{\theta}}+a\vec{e_r}\wedge\Omega\vec{e_z} $
donc au final, on a
$ 0=(a-r)\dot{\theta}-a\Omega $

[Kieffer Jean]

je viens de relire ta question, le "problème" est de savoir comment le vecteur $ \vec\Omega $ est défini ou plutôt par rapport à quel référentiel.

pour moi il est défini par rapport à un référentiel fixe

mais si tu le définis dans le référentiel tournant avec G alors la question que tu soulèves se pose ...

finalement c'est plus une question de référentiel que d'axe ...

[Brahim1]

Merci beaucoup pour votre réponse,
Ce qui m'a poussé a poser cette question c'est que dans la question suivante, ils nous demande de calculer l'énergie cinétique du Tore, puisqu'il est en rotation autour d'un axe ∆ de position non fixe ( mais de direction fixe) on va alors utiliser le théorème de Koenig :

Le problème est pour calculer Ec*=1/2. J. Ω(tore/R*) , on a utiliser Ω, donc Ω=Ω(tore/R*) c'est le vecteur vitesse de rotation dans R* et non pas dans R, non ?
Merci infiniment

[Kieffer Jean]

comme le référentiel barycentrique se définit comme le référentiel en translation (donc le vecteur rotation de ce référentiel est nul) tout roule et je ne vois pas de problème

il n'y a donc pas de problème particulier, tu as juste calculé l'énergie cinétique dans le référentiel fixe...

[Kieffer Jean]

accessoirement j'ajouterai que le théorème de Koenig est hors programme de MP/PS il me semble (en tout cas je ne trouve pas de mention dans les programmes) et que donc ce sujet ne me parait pas adapté à des révisions de méca ...