Bonjour,
Dans la définition séquentielle de la compacité, la limite de la sous-suite existante doit-elle appartenir à l'ensemble ?
Idem pour la complétude : la limite d'une suite de Cauchy doit-elle appartenir à l'ensemble global qu'on considère ?
Je trouve des définitions différentes selon les sources.
Merci
Compacité/ Complétude
Re: Compacité/ Complétude
Tu as tout dans l’excellent livre Éléments de topologie de A.Revuz
https://www.apmep.fr/IMG/pdf/BR10_Le_co ... P_1965.pdf
https://www.apmep.fr/IMG/pdf/BR10_Le_co ... P_1965.pdf
Re: Compacité/ Complétude
Dans mon cours :
Oui à ta première question (la limite de la sous-suite est dans l'ensemble, un compact est fermé).
Après j'ai eu un DM sur la complétude, et la limite était effectivement dans l'ensemble dans lequel vit la suite.
Oui à ta première question (la limite de la sous-suite est dans l'ensemble, un compact est fermé).
Après j'ai eu un DM sur la complétude, et la limite était effectivement dans l'ensemble dans lequel vit la suite.
Re: Compacité/ Complétude
Bonjour,
Les notions de compacité et de complétude valent pour un espace métrique seul, sans qu'aucun espace ambiant n'intervienne. Donc si on a $ X $ un espace métrique et $A\subset X$, et qu'on se demande si $A$ est compact ou complet, on ne regarde que l'espace métrique $A$ et on oublie $X\setminus A$. Donc les limites considérées doivent être dans $A$.
Les notions de compacité et de complétude valent pour un espace métrique seul, sans qu'aucun espace ambiant n'intervienne. Donc si on a $ X $ un espace métrique et $A\subset X$, et qu'on se demande si $A$ est compact ou complet, on ne regarde que l'espace métrique $A$ et on oublie $X\setminus A$. Donc les limites considérées doivent être dans $A$.