Si le discriminant a toujours le même signe pour chaque valeur de x, on aura bien toujours 2 solutions non ?Magnéthorax a écrit :Non : quand on résout l'équation du second degré, on travaille à x fixé. Pour chaque valeur de x, on aura 0, 1 ou 2 solutions. Pour les bonnes valeurs de x (il y en a une infinité), on aura deux solutions distinctes. Pour 0, on impose 1 mais pour les autres valeurs de x, on impose rien de plus sur la solution. On a donc le choix et on peut ainsi construire une infinité de fonctions qui vérifient le problème.
Prenez un exemple plus simple : trouvez deux fonctions $ f,g $ bien distinctes telles que $ f(0)=g(0)=1 $ et pour tout réel $ x $ $ f(x)^2=1 $ et $ g(x)^2=1 $.
Exos sympas lycée (1ere et Terminale)
Re: Exos sympas lycée (1ere et Terminale)
Re: Exos sympas lycée (1ere et Terminale)
S'il est toujours strictement positif : oui. Ce n'est pas toujours le cas ici : essayez avec x=-2016 pour voir.
Re: Exos sympas lycée (1ere et Terminale)
J'ai précisé que la fonction était définie sur les réels positifs et que donc pour tout ces réels, le discriminant était positif, ça suffit comme précision ?Magnéthorax a écrit :S'il est toujours strictement positif : oui. Ce n'est pas toujours le cas ici : essayez avec x=-2016 pour voir.
Re: Exos sympas lycée (1ere et Terminale)
à x fixé, ça suffit à assurer l'existence de deux solutions de l'équation du second degré d'inconnue réelle y : $ y^2 -(x+1)y+x^2/4=0 $.
Il reste donc toujours une infinité de fonctions qui satisfont au pb. Essayez de traiter l'exmple plus simple que je vous propose : trouvez plein d'exemples de fonctions $ f(0)=1 $ qui vérifient pour tout $ x $ réel $ f(x)^2=1 $.
Il reste donc toujours une infinité de fonctions qui satisfont au pb. Essayez de traiter l'exmple plus simple que je vous propose : trouvez plein d'exemples de fonctions $ f(0)=1 $ qui vérifient pour tout $ x $ réel $ f(x)^2=1 $.
Re: Exos sympas lycée (1ere et Terminale)
Si $ \forall x \in R, f(x)^2 = 1 $ alors $ \forall x \in R, f(x) = 1 ou f(x) = -1 $. Du coup il y aurait d'autres fonctions que la fonction constante $ 1 $ ou $ -1 $ qui vérifierait cette relation ? Parce que j'ai un peu cherché et tout ce que je trouve ce sont des fonctions qui s'expriment seulement de manière plus complexe que cette fonction constante mais qui s'y rapporte. Par exemple $ \forall x \in R, \sqrt{cos(x)^2+sin(x)^2} = 1 $ mais ce n'est juste qu'une autre écriture de la fonction constante non ?Magnéthorax a écrit :à x fixé, ça suffit à assurer l'existence de deux solutions de l'équation du second degré d'inconnue réelle y : $ y^2 -(x+1)y+x^2/4=0 $.
Il reste donc toujours une infinité de fonctions qui satisfont au pb. Essayez de traiter l'exmple plus simple que je vous propose : trouvez plein d'exemples de fonctions $ f(0)=1 $ qui vérifient pour tout $ x $ réel $ f(x)^2=1 $.
Re: Exos sympas lycée (1ere et Terminale)
En fait j'ai compris c'est bon...
Par exemple on peut avoir pour $ x=a $, $ f(x)=1 $ et pour tout $ x $ différent de $ a $, $ f(x)=-1 $ etc.
Par exemple on peut avoir pour $ x=a $, $ f(x)=1 $ et pour tout $ x $ différent de $ a $, $ f(x)=-1 $ etc.
Re: Exos sympas lycée (1ere et Terminale)
Est-ce que préciser qu'on cherche une fonction continue résoudrait le problème ?Magnéthorax a écrit :à x fixé, ça suffit à assurer l'existence de deux solutions de l'équation du second degré d'inconnue réelle y : $ y^2 -(x+1)y+x^2/4=0 $.
Il reste donc toujours une infinité de fonctions qui satisfont au pb. Essayez de traiter l'exmple plus simple que je vous propose : trouvez plein d'exemples de fonctions $ f(0)=1 $ qui vérifient pour tout $ x $ réel $ f(x)^2=1 $.
Re: Exos sympas lycée (1ere et Terminale)
Dans mon petit exemple, oui, imposer en plus la continuité de la fonction-solution va nécessairement conduire à la fonction $ x\mapsto 1 $ : c'est une conséquence d'un gros théorème de terminale.
Pour votre problème, il faut regarder un peu précisément ce qui se passe : c'est à vous de jouer. Après tout, c'est votre énoncé !
Pour votre problème, il faut regarder un peu précisément ce qui se passe : c'est à vous de jouer. Après tout, c'est votre énoncé !
Re: Exos sympas lycée (1ere et Terminale)
Bonsoir,
soit $ f : x\mapsto x^2 $ et $ \mathcal{P} $ sa courbe dans un plan muni d'un repère orthonormé. Etant donné un point $ A $ de $ \mathcal{P} $ et sa tangente en ce point, on appelle normale à $ \mathcal{P} $ au point $ A $ la droite passant par $ A $ qui est perpendiculaire à la-dite tangente.
1. Précisez les points du plan par lesquels passe au moins une tangente à $ \mathcal{P} $.
2. Démontrez que par tout point du plan passe au moins une normale à $ \mathcal{P} $.
soit $ f : x\mapsto x^2 $ et $ \mathcal{P} $ sa courbe dans un plan muni d'un repère orthonormé. Etant donné un point $ A $ de $ \mathcal{P} $ et sa tangente en ce point, on appelle normale à $ \mathcal{P} $ au point $ A $ la droite passant par $ A $ qui est perpendiculaire à la-dite tangente.
1. Précisez les points du plan par lesquels passe au moins une tangente à $ \mathcal{P} $.
2. Démontrez que par tout point du plan passe au moins une normale à $ \mathcal{P} $.
Re: Exos sympas lycée (1ere et Terminale)
Voilà juste une petite question (peut être bébête, mais j'émerge à peine XD )
SPOILER: