Miki a écrit :C'était pas la question la plus dure on va dire.
Par contre, j'ai une question, après la formule de recurrence de f^n, ils demandaient un truc du cours d'analyse pour dire que phi(f^n)=int(P(t)dt )
c'est quoi le truc?
Le sujet demandait aussi de justifier soigneusement, c'est-à-dire de préciser que $ t \mapsto P(t) $ est continue sur $ [0,1] $ car polynomiale.
Le problème I, la question 23, je n'ai pour le moment qu'une expression dégueulasse de $ \theta $ en fonction de x, y, z : $ arctan(\frac{y+x}{x.z-y.\sqrt{2}}) $, en essayant de réinjecter ça pour prouver l'existence de la droite, bonjour les calculs. Si quelqu'un a trouvé un truc tout joli qui marche et sans explications à coup de bulldozer, qu'il n'hésite pas, j'éditerai mon post.
Je continue à chercher.
Je proposerai le problème 2 plus tard.
SPOILER:
Q 1-8 a écrit :
$ \text{A.1)} $ $ f(-x) = -x.sh(\frac{-1}{x}) = x.sh(\frac{1}{x}) = f(x) $.
$ \text{A.2)(a)} $ $ sh(x) \displaystyle \underset 0 \sim x $, $ f(x) = \frac{sh(\frac{1}{x})}{\frac{1}{x}} \underset {x \to \infty} \to 1 $.
$ \text{A.2)(b)} $ $ f(x) = x.\frac{e^{\frac{1}{x}} - e^{\frac{-1}{x}}}{2} \underset {x \to 0} \to +\infty $.
$ \text{A.3)} $ La dérivabilité de f sur $ \mathbb{R}^{*} $ est évidente, et la dérivée se calcule aisément : $ f'(x) = sh(\frac{1}{x}) - \frac{1}{x}ch(\frac{1}{x}) $ $ = [th(\frac{1}{x})-\frac{1}{x}].ch(\frac{1}{x}) $.
$ \text{A.4)} $ On a la dérivée de $ x-th(x) $ positive sur $ \mathbb{R}_{*}^{+} $. Et $ x-th(x) = 0 $ en 0.
$ \text{A.5)} $ f' est positive sur $ \mathbb{R}_{*}^{-} $, négative $ \mathbb{R}_{*}^{+} $, donc f est croissante puis décroissante.
$ \text{A.6)} $ $ \frac{sh(x)}{x} = \frac{x+\frac{x^{3}}{6}+\frac{x^{5}}{120}+ \underset {x \to 0} o(x^{5})}{x} = 1+\frac{x^{2}}{6}+\frac{x^{4}}{120}+ \underset {x \to 0} o(x^{4}) $.
$ \text{A.7)} $ $ f(x) = 1 + \frac{\frac{1}{6}}{x^{2}} + \frac{\frac{1}{120}}{x^{4}} + \underset {x \to \infty} o(\frac{1}{x^{4}}) $.
$ \text{A.8}) $ $ f(\frac{1}{x}) = \frac{sh(x)}{x} $ pour $ x \in \mathbb{R}^{*} $.
On peut la prolonger car elle a pour limite 1 en ±0.
Et sa prolongation est dérivable pour $ x \in \mathbb{R}^{*} $ comme composée et produit de fonctions dérivables.
Reste à calculer F' quand x tend vers 0 : $ F'(x) = \frac{x.ch(x) - sh(x)}{x^{2}} $, on fait un DL au voisinage de 0 : $ F'(x) = \frac{x + \frac{x^{3}}{2} - x - \frac{x^{3}}{6} + \underset {x \to 0} o(x^{3})}{x^{2}} = \frac{x}{3} + \underset {x \to 0} o(x) \underset {x \to 0} \to 0 $.
Donc F est dérivable sur $ \mathbb{R} $.
Q 9-11 a écrit :$ \text{B.9}) $ L'étude de la fonction x(t) a été faite en partie A.
L'étude de $ y(t) : t \to t.e^{\frac{1}{t}} $ est une fonction croissante, négative sur $ \mathbb{R}_{*}^{-} $, positive après, et valant $ +\infty $ en $ 0^{+} $, et 0 en $ 0^{-} $, la croissance sur $ \mathbb{R}_{*}^{+} $ est plus compliquée, mais on trouve en dérivant que la fonction est décroissante sur ]0,1], croissante après. $ \displaystyle \lim_{t \to -\infty}y(t) = -\infty, \displaystyle \lim_{t \to +\infty}y(t) = +\infty $
$ \begin{cases} x'(t) = [th(\frac{1}{t})-\frac{1}{t}].ch(\frac{1}{t}) \\ y'(t) = e^{\frac{1}{t}}.(1-\frac{1}{t}) \end{cases} $
$ \text{B.10}) $ Ne pouvant faire de schéma, je vous invite à reprendre votre cours sur les courbes paramétrées, les asymptotes y sont traitées, une étude de $ \frac{y}{x} $ aux cas limites, de $ y-x $, de $ y -ax $, et de $ y-ax-b $ permet de répondre.
$ \text{B.11}) $ Idem, à vous de jouer !
Rien à traiter sur cette partie.
Q 12-14 a écrit :$ \text{C.12}) $ Solution de l'équation homogène : $ y' + \frac{1}{x}.y = 0 \Rightarrow y = \frac{\lambda}{x} $.
Solution particulière : $ y = \frac{sh(x)}{x} $ est une solution particulière.
$ \{\frac{\lambda + sh(x)}{x}, \lambda \in \mathbb{R}\} $
$ \text{C.13}) $ Les solutions trouvées précédemment marchent encore sur $ \mathbb{R}_{*}^{-} $.
$ \text{C.14}) $ Pour $ \lambda = 0 $, on retrouve F, qui est solution de (E), si $ \lambda \not = 0 $, notons $ g(x) = \frac{\lambda + sh(x)}{x} $, alors quand $ x \to ^{+}_{-}0 $, $ g(x) \to ^{+}_{-}\infty $.
Donc F est l'unique solution de (E) sur $ \mathbb{R} $.
Q 15-18 a écrit :$ \text{D.15}) $ Sur $ \mathbb{R}_{+}^{*}, x \to f(x) $ est continue, strictement décroissante (car à dérivée strictement négative), a $ +\infty $ comme limite en 0 et 1 comme limite en $ +\infty $, on peut donc appliquer le théorème des valeurs intermédiaires pour dire que $ \forall n \in \mathbb{N}^{*}, f(x) = \frac{n+1}{n} $ admet une solution, unique par décroissance stricte de f.
$ \text{D.16}) $ f est strictement décroissante sur $ \mathbb{R}_{+}^{*} $, et $ n \to \frac{n+1}{n} $ aussi, s'il existe n tel que $ u_{n} \geqslant u_{n+1} $, alors $ f(u_{n+1}) > f(u_{n}) $, ce qui contredit le fait que $ n \to \frac{n+1}{n} $ décroisse strictement.
$ \text{D.17}) $ $ f(x) \to 1 $ quand $ x \to \infty $, or quand $ n \to \infty, \frac{n+1}{n} \to 1 $, d'où le résultat.
$ \text{D.18}) $ Pas sûr de moi pour celle-là : $ f(u_{n}) = 1 + \frac{\frac{1}{6}}{u_{n}^{2}} + o(\frac{1}{u_{n}^{2}}) $ quand $ n \to \infty $.
Or, $ f(u_{n}) = \frac{n+1}{n} $, donc $ \frac{n+1}{n} = 1 + \frac{1}{6.u_{n}^{2}} + \underset {n \to \infty} o(\frac{1}{u_{n}^{2}}) $, $ u_{n}^{2}.\frac{1}{n} = \frac{1}{6} + \underset {n \to \infty} o(1) $.
$ u_{n} \underset {n \to \infty} \sim \sqrt{\frac{n}{6}} $.
Encore une fois, cette question me laisse perplexe, j'ai parfois du mal à calculer les équivalents.
Je précise que mes DL ne sont valables qu'au voisinage du point indiqué sous le o.
Q 19-23 a écrit :$ \text{E.19}) $ Cf cours.
$ \text{E.20}) $ En appliquant le théorème fondamental judicieusement (on ne peut l'appliquer sur J tel quel !!) : f est continue sur \mathbb{R}_{+}^{*}, soit $ a \in \mathbb{R}_{+}^{*} $, $ J(x) = \displaystyle \int_{\frac{x}{2}}{a}f(t)dt + \displaystyle \int_{a}^{x}f(t)dt $.
On peut enfin dériver : $ J'(x) = f(x) - \frac{1}{2}.f(\frac{x}{2}) $.
Pour ceux qui trouvent pareil sans utiliser Chasles, c'est normal, mais c'est faux si on applique bêtement le cours, on ne sait appliquer le théorème fondamental qu'avec une borne ne dépendant pas de x.
$ f(\frac{x}{2}) = \frac{x}{2}.sh(\frac{2}{x}) = x.sh(\frac{1}{x}).ch(\frac{1}{x})) = f(x).ch(\frac{1}{x}) $.
Finalement, $ J'(x) = f(x).[1-\frac{1}{2}.ch(\frac{1}{x})] $.
$ \text{E.21}) $ J' est donc négative, car $ ch(x) \geqslant 1 \forall x \in \mathbb{R} $, J' ne s'annule que pour $ x \to +\infty $.
$ \text{E.22}) $ À vous de jouer !
$ \text{E.23}) $ Idem.
Voilà, j'ai fini !
J'espère que ça en aidera certains !
N'hésitez pas si vous trouvez des erreurs dans ma correction !
Dernière modification par Thaalos le 20 mai 2009 18:00, modifié 7 fois.
Thaalos, il y a une faute de frappe en A8) : dans le DL du numérateur c'est un o(x^3) et du coup ça vaut x/3 + o(x). "x/3+o(1)" est suspect
Et en B9) il manque une balise $ \LaTeX $.
